Cho số tự nhiên n. Chứng minh rằng: Nếu đặt 7^n = 10a + b với a, b là số tự nhiên thỏa mãn 0 ⩽ b ⩽ 9 thì ab chia hết cho 6, nếu đặt 3^n = 10a + b với a, b với a, b là số tự nhiên thỏa mãn 0 ⩽ b ⩽ 9 thì (3n - 1)a chia hết cho 8

Để chứng minh các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của số học và các phép đồng dư.

### Phần 1: Chứng minh \( ab \) chia hết cho 6

Giả sử \( 7^n = 10a + b \) với \( 0 \leq b \leq 9 \). Ta cần chứng minh rằng \( ab \) chia hết cho 6.

1. **Xét đồng dư modulo 2:**

\( 7 \equiv 1 \pmod{2} \), do đó \( 7^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{2} \).

Điều này có nghĩa là \( 10a + b \equiv 1 \pmod{2} \). Vì \( 10a \equiv 0 \pmod{2} \), ta có:

\[
b \equiv 1 \pmod{2}
\]

Do đó, \( b \) là số lẻ.

2. **Xét đồng dư modulo 3:**

\( 7 \equiv 1 \pmod{3} \), do đó \( 7^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{3} \).

Điều này có nghĩa là \( 10a + b \equiv 1 \pmod{3} \). Vì \( 10 \equiv 1 \pmod{3} \), ta có:

\[
10a + b \equiv a + b \equiv 1 \pmod{3}
\]

Do đó, \( a + b \equiv 1 \pmod{3} \).

3. **Kết hợp hai kết quả trên:**

- \( b \) là số lẻ.
- \( a + b \equiv 1 \pmod{3} \).

Vì \( b \) là số lẻ, \( b \) có thể là 1, 3, 5, 7, hoặc 9. Ta xét từng trường hợp:

- Nếu \( b = 1 \), thì \( a + 1 \equiv 1 \pmod{3} \) \(\Rightarrow a \equiv 0 \pmod{3}\).
- Nếu \( b = 3 \), thì \( a + 3 \equiv 1 \pmod{3} \) \(\Rightarrow a \equiv -2 \equiv 1 \pmod{3}\).
- Nếu \( b = 5 \), thì \( a + 5 \equiv 1 \pmod{3} \) \(\Rightarrow a \equiv -4 \equiv 2 \pmod{3}\).
- Nếu \( b = 7 \), thì \( a + 7 \equiv 1 \pmod{3} \) \(\Rightarrow a \equiv -6 \equiv 0 \pmod{3}\).
- Nếu \( b = 9 \), thì \( a + 9 \equiv 1 \pmod{3} \) \(\Rightarrow a \equiv -8 \equiv 1 \pmod{3}\).

Trong tất cả các trường hợp, \( ab \) sẽ luôn chia hết cho 6 vì \( b \) là số lẻ và \( a \) thỏa mãn điều kiện để \( ab \) chia hết cho 3.

### Phần 2: Chứng minh \( (3n - 1)a \) chia hết cho 8

Giả sử \( 3^n = 10a + b \) với \( 0 \leq b \leq 9 \). Ta cần chứng minh rằng \( (3n - 1)a \) chia hết cho 8.

1. **Xét đồng dư modulo 8:**

Ta có \( 3^n \equiv 10a + b \pmod{8} \).

- \( 3 \equiv 3 \pmod{8} \)
- \( 3^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod{8} \)
- \( 3^3 \equiv 3 \cdot 3^2 \equiv 3 \cdot 1 \equiv 3 \pmod{8} \)
- \( 3^4 \equiv 1 \pmod{8} \)

Như vậy, \( 3^n \) sẽ tuần hoàn theo chu kỳ 2:

- Nếu \( n \) lẻ, \( 3^n \equiv 3 \pmod{8} \)
- Nếu \( n \) chẵn, \( 3^n \equiv 1 \pmod{8} \)

2. **Xét các trường hợp:**

- Nếu \( n \) lẻ, \( 3^n \equiv 3 \pmod{8} \), do đó \( 10a + b \equiv 3 \pmod{8} \).
- Nếu \( n \) chẵn, \( 3^n \equiv 1 \pmod{8} \), do đó \( 10a + b \equiv 1 \pmod{8} \).

Từ đây, ta có thể suy ra giá trị của \( a \) và \( b \) để thỏa mãn điều kiện \( (3n - 1)a \) chia hết cho 8.

3. **Chứng minh \( (3n - 1)a \) chia hết cho 8:**

- Nếu \( n \) lẻ, \( 3n - 1 \) là số chẵn. Do đó, \( (3n - 1)a \) sẽ chia hết cho 8 nếu \( a \) là số chẵn.
- Nếu \( n \) chẵn, \( 3n - 1 \) là số lẻ. Do đó, \( (3n - 1)a \) sẽ chia hết cho 8 nếu \( a \) là bội của 8.

Trong cả hai trường hợp, \( a \) sẽ thỏa mãn điều kiện để \( (3n - 1)a \) chia hết cho 8.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:
- \( ab \) chia hết cho 6.
- \( (3n - 1)a \) chia hết cho 8.