Cho tam giác ABC(AB < AC) có AD là tia phân giác của BAC(D ∈ BC). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AB = AE.

a) Chứng minh AABD = MED.

Giải:

• Do AD là tia phân giác của góc BAC nên:

∠BAD = ∠CAD = 1/2 ∠BAC (1)

• Xét tam giác ABD và tam giác MED:

• AB = ME (theo giả thiết)

• ∠BAD = ∠MED (do (1) và ∠MED = ∠BAD đối đỉnh)

• AD = MD (chung)

Vậy ΔABD = ΔMED (c-g-c).

b) Gọi M là giao điểm của AD và BE. Chứng minh ADBE cân và AD ⊥ BE tại M.

Giải:

• Do ΔABD = ΔMED (chứng minh trên) nên:

• ∠ABD = ∠MED (góc tương ứng)

• ∠ADB = ∠MDE (góc tương ứng)

• Ta có:

∠ADB + ∠MDE = ∠ADE (góc ngoài tam giác MED)

Mà ∠ADE = ∠BAD (do AD là tia phân giác của góc BAC)

⇒ ∠ADB + ∠MDE = ∠BAD

⇒ 2∠ADB = ∠BAD

⇒ ∠ADB = 1/2 ∠BAD

• Xét tam giác ADB:

• ∠ADB = 1/2 ∠BAD (chứng minh trên)

• ∠BAD = ∠CAD (do AD là tia phân giác của góc BAC)

Vậy ΔADB cân tại D.

• Do ΔADB cân tại D nên:

• AD = BD

• Xét tam giác ABD và tam giác BED:

• AB = BE (theo giả thiết)

• AD = BD (chứng minh trên)

• ∠BAD = ∠BED (đối đỉnh)

Vậy ΔABD = ΔBED (c-g-c).

⇒ ∠ABD = ∠BED

Mà ∠ABD + ∠BED = 180° (góc bẹt)

⇒ ∠ABD = ∠BED = 90°

⇒ AD ⊥ BE tại M.

c) Lấy điểm G thuộc AM sao cho AG=2 AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho GA=GK. Chứng minh G là trọng tâm của ΔABE và GB = EK.

Giải:

• Do AG = 2AM nên M là trung điểm của AG.

• Do G thuộc AM và AG = 2AM nên G thuộc tia AM.

• Do GA = GK nên K là trung điểm của GA.

• Xét tam giác ABK:

• G là trung điểm của AG (chứng minh trên)

• K là trung điểm của GA (chứng minh trên)

Vậy G và K là hai trung tuyến cắt nhau tại M trong tam giác ABK.

⇒ M là trọng tâm của tam giác ABK.

• Do M là trọng tâm của tam giác ABK nên:

• MB = MK

• Xét tam giác ABG và tam giác KAG:

• AG = AG (chung)

• GB = GK (do G là trọng tâm của tam giác ABK)

• ∠AGB = ∠KAG (đối đỉnh)

Vậy ΔAGB = ΔKAG (c-g-c).

⇒ AB = AK

• Xét tam giác ABE và tam giác ABK:

• AB = AK (chứng minh trên)

• BE = BK (do AB = AE và K là trung điểm của GA)

• ∠ABE = ∠ABK (cùng bằng ∠BAD)

Vậy ΔABE = ΔABK (c-g-c).

⇒ BM = MK

• Do M là trọng tâm của tam giác ABK nên:

• BM = MK

• Mà MB = MK (chứng minh trên)

⇒ BM = MK = MB

⇒ M là trung điểm của BK.

• Do M là trung điểm của BK và BE = BK nên ME = MK.

• Xét tam giác MBE và tam giác MKE:

• ME = MK (chứng minh trên)

• BE = KE (do E là trung điểm của AB)

• ∠MBE = ∠MKE (đối đỉnh)

Vậy ΔMBE = ΔMKE (c-g-c).

⇒ GB = GK

Vậy G là trọng tâm của ΔABE và GB = EK.