Hình bình hành ABCD có AB = 2a AD = 3A, tam giác Bad bằng 60 độ, điểm K thuộc AD thỏa mãn vectơ AC = -2 vectơ DK. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta cần phân tích hình bình hành ABCD và các thông tin đã cho.

1. **Mệnh đề A: D là trung điểm của AK**

Để kiểm tra mệnh đề này, ta cần xem xét vị trí của điểm K trên đoạn AD sao cho vectơ AC = -2 vectơ DK.

- Gọi \( \vec{AD} = \vec{d} \).
- Gọi \( K \) là điểm trên \( AD \) sao cho \( \vec{AK} = k \vec{d} \) với \( 0 \leq k \leq 1 \).

Theo đề bài, \( \vec{AC} = -2 \vec{DK} \).

- \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} \) (do ABCD là hình bình hành).
- \( \vec{DK} = \vec{AD} - \vec{AK} = \vec{d} - k \vec{d} = (1-k) \vec{d} \).

Từ \( \vec{AC} = -2 \vec{DK} \), ta có:
\[
\vec{AB} + \vec{AD} = -2 (1-k) \vec{d}
\]
\[
\vec{AB} + \vec{d} = -2 (1-k) \vec{d}
\]
\[
\vec{AB} = -2 (1-k) \vec{d} - \vec{d}
\]
\[
\vec{AB} = -2 \vec{d} + 2k \vec{d} - \vec{d}
\]
\[
\vec{AB} = (2k - 3) \vec{d}
\]

Vì \( \vec{AB} \) không phụ thuộc vào \( \vec{d} \), ta có \( 2k - 3 = 0 \) hay \( k = \frac{3}{2} \). Điều này không hợp lý vì \( k \) phải nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Do đó, mệnh đề A là **sai**.

2. **Mệnh đề B: \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} \)**

- Trong hình bình hành, \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} \) luôn đúng.

Do đó, mệnh đề B là **đúng**.

3. **Mệnh đề C: Độ dài BD là 10A**

- Để tính độ dài \( BD \), ta cần biết các cạnh và góc của hình bình hành.
- \( AB = 2a \), \( AD = 3A \), và góc \( BAD = 60^\circ \).

Sử dụng định lý cosin trong tam giác \( ABD \):
\[
BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(60^\circ)
\]
\[
BD^2 = (2a)^2 + (3A)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3A \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
BD^2 = 4a^2 + 9A^2 - 6aA
\]

Để \( BD = 10A \), ta cần:
\[
100A^2 = 4a^2 + 9A^2 - 6aA
\]
\[
91A^2 = 4a^2 - 6aA
\]

Điều này không thể đúng với mọi giá trị của \( a \) và \( A \). Do đó, mệnh đề C là **sai**.

4. **Mệnh đề D: Tích vô hướng của \( \vec{BK} \) nhân \( \vec{AC} = a^2 \)**

- \( \vec{BK} = \vec{BA} + \vec{AK} \).
- \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} \).

Tính tích vô hướng:
\[
\vec{BK} \cdot \vec{AC} = (\vec{BA} + \vec{AK}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AD})
\]

Do \( \vec{AK} \) không xác định rõ ràng, ta không thể tính chính xác tích vô hướng này mà không biết thêm thông tin về \( K \). Tuy nhiên, từ các thông tin đã có, ta không thể khẳng định rằng tích vô hướng này bằng \( a^2 \).

Do đó, mệnh đề D là **sai**.

Tóm lại:
- Mệnh đề A: Sai
- Mệnh đề B: Đúng
- Mệnh đề C: Sai
- Mệnh đề D: Sai