Cho ∆ABC vuông tại A, có AH là đường cao.

a) Chứng minh: AH.BC = AB.AC

Ta có ∆ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagoras:

Do AH là đường cao, nên AH vuông góc với BC và chia ∆ABC thành hai tam giác vuông nhỏ là ∆ABH và ∆ACH.

Ta có:

Do đó:

Vậy ta đã chứng minh được:

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB, từ B vẽ đường vuông góc với BC cắt MN tại I.

Chứng minh: \( IB^2 = IM \times IN \)

Do M là trung điểm của BC, nên M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Do N là trung điểm của AB, nên N là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Gọi K là giao điểm của đường vuông góc từ B với BC. Ta có BK vuông góc với BC.

Do I nằm trên đường vuông góc từ B với BC và cắt MN tại I, nên I là trực tâm của tam giác BMN.

Áp dụng định lý trực tâm trong tam giác vuông, ta có:

Vậy ta đã chứng minh được:

c) Gọi O là giao điểm của IC và AH. Chứng minh: O là trung điểm của AH.

Do I là trực tâm của tam giác BMN, nên IC là đường cao của tam giác BMN.

Do AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC.

Gọi O là giao điểm của IC và AH. Ta có O nằm trên đường cao AH của tam giác ABC và trên đường cao IC của tam giác BMN.

Do đó, O là trực tâm của tam giác BMN và cũng là trung điểm của AH.

Vậy ta đã chứng minh được: