Để tìm các số nguyên dương \(a, b, c\) thỏa mãn hai điều kiện sau:
1. \(abc + a = a^2 b + b^2\)
2. \(a^2 + 4\) là số nguyên tố,

ta sẽ giải từng bước như sau:

### Bước 1: Phân tích điều kiện thứ nhất
Ta có phương trình:
\[ abc + a = a^2 b + b^2 \]

Chuyển vế và nhóm các hạng tử chứa \(a\) và \(b\):
\[ abc + a - a^2 b - b^2 = 0 \]
\[ a(bc + 1) = a^2 b + b^2 \]
\[ a(bc + 1) = b(a^2 + b) \]

Chia cả hai vế cho \(b\) (giả sử \(b \neq 0\)):
\[ a \left(\frac{bc + 1}{b}\right) = a^2 + b \]
\[ a \left(c + \frac{1}{b}\right) = a^2 + b \]

### Bước 2: Phân tích điều kiện thứ hai
Điều kiện thứ hai yêu cầu \(a^2 + 4\) là số nguyên tố. Ta thử các giá trị nhỏ của \(a\) để kiểm tra tính nguyên tố của \(a^2 + 4\).

- Với \(a = 1\):
\[ a^2 + 4 = 1^2 + 4 = 5 \]
5 là số nguyên tố.

- Với \(a = 2\):
\[ a^2 + 4 = 2^2 + 4 = 8 \]
8 không phải là số nguyên tố.

- Với \(a = 3\):
\[ a^2 + 4 = 3^2 + 4 = 13 \]
13 là số nguyên tố.

- Với \(a = 4\):
\[ a^2 + 4 = 4^2 + 4 = 20 \]
20 không phải là số nguyên tố.

- Với \(a = 5\):
\[ a^2 + 4 = 5^2 + 4 = 29 \]
29 là số nguyên tố.

### Bước 3: Kiểm tra các giá trị \(a\) thỏa mãn điều kiện thứ nhất
Ta kiểm tra các giá trị \(a = 1, 3, 5\) trong phương trình \(abc + a = a^2 b + b^2\).

- Với \(a = 1\):
\[ 1bc + 1 = 1^2 b + b^2 \]
\[ bc + 1 = b + b^2 \]
\[ bc + 1 = b(b + 1) \]
\[ bc + 1 = b^2 + b \]
\[ bc = b^2 + b - 1 \]

Ta cần \(bc\) là một số nguyên dương. Thử các giá trị nhỏ của \(b\):
- Với \(b = 1\):
\[ c = 1^2 + 1 - 1 = 1 \]
Vậy \(a = 1, b = 1, c = 1\) là một nghiệm.

- Với \(a = 3\):
\[ 3bc + 3 = 3^2 b + b^2 \]
\[ 3bc + 3 = 9b + b^2 \]
\[ 3bc = b^2 + 9b - 3 \]

Ta cần \(3bc\) là một số nguyên dương. Thử các giá trị nhỏ của \(b\):
- Với \(b = 1\):
\[ 3c = 1^2 + 9 \cdot 1 - 3 = 7 \]
\[ c = \frac{7}{3} \]
\(c\) không phải là số nguyên.

- Với \(b = 3\):
\[ 3 \cdot 3c = 3^2 + 9 \cdot 3 - 3 = 27 \]
\[ 9c = 27 \]
\[ c = 3 \]
Vậy \(a = 3, b = 3, c = 3\) là một nghiệm.

- Với \(a = 5\):
\[ 5bc + 5 = 5^2 b + b^2 \]
\[ 5bc + 5 = 25b + b^2 \]
\[ 5bc = b^2 + 25b - 5 \]

Ta cần \(5bc\) là một số nguyên dương. Thử các giá trị nhỏ của \(b\):
- Với \(b = 1\):
\[ 5c = 1^2 + 25 \cdot 1 - 5 = 21 \]
\[ c = \frac{21}{5} \]
\(c\) không phải là số nguyên.

- Với \(b = 5\):
\[ 5 \cdot 5c = 5^2 + 25 \cdot 5 - 5 = 145 \]
\[ 25c = 145 \]
\[ c = \frac{145}{25} = 5.8 \]
\(c\) không phải là số nguyên.

### Kết luận
Các bộ số nguyên dương \(a, b, c\) thỏa mãn cả hai điều kiện là:
\[ (a, b, c) = (1, 1, 1) \]
\[ (a, b, c) = (3, 3, 3) \]