Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của B và D trên đường chéo AC. Gọi M; N lần lượt là hình chiếu của C trên các đường thẳng AB và AD

Bài 17. Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của B và D trên đường chéo AC. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của C trên các đường thẳng AB và AD.

a) Chứng minh rằng AK = IC.

b) Chứng minh rằng tứ giác BIDK là hình bình hành.

c) Chứng minh rằng tỷ số các khoảng cách từ một điểm bất kỳ T trên đường chéo AC đến 2 đường thẳng AB và AD bằng \(\frac{AD}{AB}\).

**Giải:**

a) Chứng minh rằng AK = IC.

Do I và K lần lượt là hình chiếu của B và D trên đường chéo AC, ta có:
- BI vuông góc với AC tại I.
- DK vuông góc với AC tại K.

Do ABCD là hình bình hành, nên AB = CD và AD = BC. Vì vậy, các tam giác vuông ABI và DCK có cạnh huyền bằng nhau và các góc nhọn tương ứng bằng nhau. Do đó, các tam giác vuông ABI và DCK đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh huyền và góc nhọn.

Từ đó, ta có:
\[ \frac{AI}{BI} = \frac{CK}{DK} \]

Vì BI = DK (do hình chiếu của B và D trên AC), nên:
\[ AI = CK \]

Do đó:
\[ AK = AI + IK = CK + IK = IC \]

Vậy, AK = IC.

b) Chứng minh rằng tứ giác BIDK là hình bình hành.

Ta đã biết rằng:
- BI vuông góc với AC tại I.
- DK vuông góc với AC tại K.
- BI = DK (do hình chiếu của B và D trên AC).

Do đó, BI song song với DK và BI = DK.

Ngoài ra, do ABCD là hình bình hành, nên AB = CD và AD = BC. Do đó, tứ giác BIDK có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Vậy, tứ giác BIDK là hình bình hành.

c) Chứng minh rằng tỷ số các khoảng cách từ một điểm bất kỳ T trên đường chéo AC đến 2 đường thẳng AB và AD bằng \(\frac{AD}{AB}\).

Gọi \(d_1\) là khoảng cách từ điểm T đến đường thẳng AB và \(d_2\) là khoảng cách từ điểm T đến đường thẳng AD.

Do T nằm trên đường chéo AC của hình bình hành ABCD, nên khoảng cách từ T đến AB và AD tỉ lệ với khoảng cách từ A đến AB và AD.

Ta có:
\[ \frac{d_1}{d_2} = \frac{AD}{AB} \]

Vậy, tỷ số các khoảng cách từ một điểm bất kỳ T trên đường chéo AC đến 2 đường thẳng AB và AD bằng \(\frac{AD}{AB}\).