Để rút gọn phương trình \(\frac{x}{2x-1} = \frac{x-2}{2x+5}\) với điều kiện \(x \neq \frac{1}{2}\) và \(x \neq \frac{5}{2}\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Nhân chéo** để loại bỏ mẫu số:
\[
x(2x + 5) = (x - 2)(2x - 1)
\]

2. **Khai triển** các biểu thức:
\[
2x^2 + 5x = 2x^2 - x - 4x + 2
\]

3. **Đơn giản hóa** phương trình:
\[
2x^2 + 5x = 2x^2 - 5x + 2
\]

4. **Chuyển tất cả các hạng tử về một phía** của phương trình:
\[
2x^2 + 5x - 2x^2 + 5x = 2
\]
\[
10x = 2
\]

5. **Giải phương trình**:
\[
x = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}
\]

6. **Kiểm tra điều kiện**:
\[
x = \frac{1}{5} \neq \frac{1}{2} \quad \text{và} \quad x = \frac{1}{5} \neq \frac{5}{2}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{1}{5}\).