Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục Oy hoặc trục Ox. Sau đó, ta sẽ vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.

### Phần a:
Để hai đường thẳng \( (d_1) : 5x - 2y = 3 \) và \( (d_2) : x + y = m \) cắt nhau tại một điểm trên trục Oy, tọa độ của điểm đó sẽ có dạng \( (0, y) \).

Thay \( x = 0 \) vào phương trình của \( (d_1) \):
\[ 5(0) - 2y = 3 \]
\[ -2y = 3 \]
\[ y = -\frac{3}{2} \]

Vậy điểm cắt trên trục Oy là \( (0, -\frac{3}{2}) \).

Thay \( x = 0 \) vào phương trình của \( (d_2) \):
\[ 0 + y = m \]
\[ y = m \]

Do đó, \( m = -\frac{3}{2} \).

### Phần b:
Để hai đường thẳng \( (d_1) : mx + 3y = 10 \) và \( (d_2) : x - 2y = 4 \) cắt nhau tại một điểm trên trục Ox, tọa độ của điểm đó sẽ có dạng \( (x, 0) \).

Thay \( y = 0 \) vào phương trình của \( (d_1) \):
\[ mx + 3(0) = 10 \]
\[ mx = 10 \]
\[ x = \frac{10}{m} \]

Thay \( y = 0 \) vào phương trình của \( (d_2) \):
\[ x - 2(0) = 4 \]
\[ x = 4 \]

Do đó, \( \frac{10}{m} = 4 \):
\[ m = \frac{10}{4} \]
\[ m = \frac{5}{2} \]

### Vẽ đồ thị:
1. Đường thẳng \( (d_1) : 5x - 2y = 3 \) và \( (d_2) : x + y = -\frac{3}{2} \):

- \( (d_1) : 5x - 2y = 3 \)
- Khi \( x = 0 \), \( y = -\frac{3}{2} \)
- Khi \( y = 0 \), \( x = \frac{3}{5} \)

- \( (d_2) : x + y = -\frac{3}{2} \)
- Khi \( x = 0 \), \( y = -\frac{3}{2} \)
- Khi \( y = 0 \), \( x = -\frac{3}{2} \)

2. Đường thẳng \( (d_1) : \frac{5}{2}x + 3y = 10 \) và \( (d_2) : x - 2y = 4 \):

- \( (d_1) : \frac{5}{2}x + 3y = 10 \)
- Khi \( x = 0 \), \( y = \frac{10}{3} \)
- Khi \( y = 0 \), \( x = 4 \)

- \( (d_2) : x - 2y = 4 \)
- Khi \( x = 0 \), \( y = -2 \)
- Khi \( y = 0 \), \( x = 4 \)

Vẽ các đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng tọa độ để thấy rõ điểm cắt nhau.