Để rút gọn biểu thức sau:

\[ \frac{x + 6}{2x + 6} + \frac{2x + 3}{x - (x + 3)} \]

Ta thực hiện các bước sau:

1. Rút gọn phân số đầu tiên:
\[ \frac{x + 6}{2x + 6} \]

Ta có thể phân tích mẫu số:
\[ 2x + 6 = 2(x + 3) \]

Do đó:
\[ \frac{x + 6}{2(x + 3)} \]

2. Rút gọn phân số thứ hai:
\[ \frac{2x + 3}{x - (x + 3)} \]

Ta tính toán mẫu số:
\[ x - (x + 3) = x - x - 3 = -3 \]

Do đó:
\[ \frac{2x + 3}{-3} = -\frac{2x + 3}{3} \]

3. Kết hợp hai phân số đã rút gọn:
\[ \frac{x + 6}{2(x + 3)} - \frac{2x + 3}{3} \]

Để cộng hai phân số này, ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là \(6(x + 3)\):

\[ \frac{x + 6}{2(x + 3)} = \frac{3(x + 6)}{6(x + 3)} = \frac{3x + 18}{6(x + 3)} \]

\[ -\frac{2x + 3}{3} = -\frac{2x + 3}{3} \cdot \frac{2(x + 3)}{2(x + 3)} = -\frac{2(2x + 3)}{6(x + 3)} = -\frac{4x + 6}{6(x + 3)} \]

Bây giờ ta cộng hai phân số này:
\[ \frac{3x + 18}{6(x + 3)} - \frac{4x + 6}{6(x + 3)} = \frac{(3x + 18) - (4x + 6)}{6(x + 3)} = \frac{3x + 18 - 4x - 6}{6(x + 3)} = \frac{-x + 12}{6(x + 3)} \]

Vậy biểu thức rút gọn là:
\[ \frac{-x + 12}{6(x + 3)} \]