Để chứng minh \( A < \frac{2006}{2007} \), ta cần xem xét giá trị của \( A \) được cho bởi:

\[ A = \frac{2}{3^2} + \frac{2}{5^2} + \frac{2}{7^2} + \ldots + \frac{2}{2007^2} \]

Trước tiên, ta sẽ đánh giá tổng này bằng cách so sánh nó với một chuỗi hội tụ đã biết. Ta có thể so sánh với chuỗi hình học hội tụ:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \]

Tuy nhiên, để đơn giản hơn, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức:

\[ \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} \]

Với \( n \geq 3 \), ta có:

\[ \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \]

Áp dụng bất đẳng thức này cho từng phần tử của tổng \( A \):

\[ \frac{2}{3^2} + \frac{2}{5^2} + \frac{2}{7^2} + \ldots + \frac{2}{2007^2} < 2 \left( \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2006} - \frac{1}{2007} \right) \right) \]

Khi đó, các phần tử trong dấu ngoặc sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại:

\[ 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2007} \right) = 2 \left( \frac{2007 - 1}{2 \cdot 2007} \right) = 2 \cdot \frac{2006}{2 \cdot 2007} = \frac{2006}{2007} \]

Do đó, ta có:

\[ A < \frac{2006}{2007} \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( A < \frac{2006}{2007} \).