Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a. Rút gọn biểu thức A

Biểu thức ban đầu:
\[ A = \left(1 - \frac{4}{x}\right) \left(\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2}\right) \]

Đầu tiên, ta sẽ rút gọn phần trong ngoặc thứ hai:
\[ \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} \]

Ta quy đồng mẫu số:
\[ \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) - (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \]

Tử số:
\[ (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) - (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2) \]
\[ = (\sqrt{x}^2 - 2\sqrt{x} - \sqrt{x} + 2) - (\sqrt{x}^2 + 2\sqrt{x} + \sqrt{x} + 2) \]
\[ = (x - 3\sqrt{x} + 2) - (x + 3\sqrt{x} + 2) \]
\[ = x - 3\sqrt{x} + 2 - x - 3\sqrt{x} - 2 \]
\[ = -6\sqrt{x} \]

Mẫu số:
\[ (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2) = x - 4 \]

Vậy biểu thức rút gọn là:
\[ \frac{-6\sqrt{x}}{x - 4} \]

Thay vào biểu thức A:
\[ A = \left(1 - \frac{4}{x}\right) \cdot \frac{-6\sqrt{x}}{x - 4} \]

### b. Tìm x để A = -2

Ta có:
\[ \left(1 - \frac{4}{x}\right) \cdot \frac{-6\sqrt{x}}{x - 4} = -2 \]

Giải phương trình:
\[ \left(1 - \frac{4}{x}\right) \cdot \frac{-6\sqrt{x}}{x - 4} = -2 \]

Chia cả hai vế cho -2:
\[ \left(1 - \frac{4}{x}\right) \cdot \frac{3\sqrt{x}}{x - 4} = 1 \]

Nhân cả hai vế với (x - 4):
\[ \left(1 - \frac{4}{x}\right) \cdot 3\sqrt{x} = x - 4 \]

Nhân cả hai vế với x:
\[ 3x\sqrt{x} - 12\sqrt{x} = x^2 - 4x \]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\[ x^2 - 4x - 3x\sqrt{x} + 12\sqrt{x} = 0 \]

Đặt \( \sqrt{x} = t \), ta có \( x = t^2 \):
\[ t^4 - 4t^2 - 3t^3 + 12t = 0 \]

Phân tích đa thức:
\[ t(t^3 - 3t^2 - 4t + 12) = 0 \]

Giải phương trình:
\[ t = 0 \]
hoặc
\[ t^3 - 3t^2 - 4t + 12 = 0 \]

Phương trình bậc ba có thể giải bằng cách thử nghiệm các nghiệm hợp lý hoặc sử dụng phương pháp Cardano. Tuy nhiên, nghiệm \( t = 0 \) không thỏa mãn điều kiện \( x > 0 \).

Thử nghiệm các giá trị hợp lý cho \( t \):
\[ t = 2 \]
\[ 2^3 - 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 12 = 8 - 12 - 8 + 12 = 0 \]

Vậy \( t = 2 \) là một nghiệm. Do đó:
\[ \sqrt{x} = 2 \]
\[ x = 4 \]

Tuy nhiên, \( x = 4 \) không thỏa mãn điều kiện \( x \neq 4 \). Do đó, không có giá trị \( x \) nào thỏa mãn điều kiện \( A = -2 \) với \( x > 0 \) và \( x \neq 4 \).