Để chứng minh các phân thức luôn có nghĩa, ta cần chứng minh rằng mẫu số của các phân thức này không bao giờ bằng 0 với mọi giá trị của \( x \).

a. \(\frac{3 + x}{2x^2 + 7}\)

Mẫu số: \(2x^2 + 7\)

Phương trình \(2x^2 + 7 = 0\) không có nghiệm thực vì \(2x^2 + 7 > 0\) với mọi \(x\). Do đó, mẫu số không bao giờ bằng 0.

b. \(\frac{3x - 7}{(3x - 1)^2 - 2}\)

Mẫu số: \((3x - 1)^2 - 2\)

Ta có:
\[
(3x - 1)^2 - 2 = 0
\]
\[
(3x - 1)^2 = 2
\]
\[
3x - 1 = \pm \sqrt{2}
\]
\[
3x = 1 \pm \sqrt{2}
\]
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{3}
\]

Phương trình này có nghiệm thực, do đó mẫu số có thể bằng 0 với một số giá trị của \(x\). Vì vậy, phân thức này không luôn có nghĩa.

c. \(\frac{x - 8}{x^2 + 2x + 4}\)

Mẫu số: \(x^2 + 2x + 4\)

Phương trình \(x^2 + 2x + 4 = 0\) không có nghiệm thực vì \(\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0\). Do đó, mẫu số không bao giờ bằng 0.

d. \(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 4x + 5}\)

Mẫu số: \(x^2 - 4x + 5\)

Phương trình \(x^2 - 4x + 5 = 0\) không có nghiệm thực vì \(\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0\). Do đó, mẫu số không bao giờ bằng 0.

Tóm lại, các phân thức a, c, và d luôn có nghĩa. Phân thức b không luôn có nghĩa vì mẫu số có thể bằng 0 với một số giá trị của \(x\).