Để giải các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta cần xét các trường hợp khác nhau dựa trên các điều kiện của giá trị tuyệt đối. Dưới đây là cách giải từng phương trình:

a) $|x + 5| + |4 - x| = 9$

Xét các trường hợp:
1. $x \geq 4$:
$|x + 5| = x + 5$ và $|4 - x| = x - 4$
$$x + 5 + 4 - x = 9 \Rightarrow 9 = 9$$
Điều này đúng với mọi $x \geq 4$.

2. $-5 \leq x < 4$:
$|x + 5| = x + 5$ và $|4 - x| = 4 - x$
$$x + 5 + 4 - x = 9 \Rightarrow 9 = 9$$
Điều này đúng với mọi $-5 \leq x < 4$.

3. $x < -5$:
$|x + 5| = -x - 5$ và $|4 - x| = 4 - x$
$$-x - 5 + 4 - x = 9 \Rightarrow -2x - 1 = 9 \Rightarrow -2x = 10 \Rightarrow x = -5$$
Điều này đúng với $x = -5$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x \geq -5$.

b) $|x - \frac{2}{3}| + |x - \frac{3}{4}| = \frac{1}{12}$

Xét các trường hợp:
1. $x \geq \frac{3}{4}$:
$|x - \frac{2}{3}| = x - \frac{2}{3}$ và $|x - \frac{3}{4}| = x - \frac{3}{4}$
$$x - \frac{2}{3} + x - \frac{3}{4} = \frac{1}{12} \Rightarrow 2x - \frac{17}{12} = \frac{1}{12} \Rightarrow 2x = \frac{18}{12} \Rightarrow x = \frac{3}{4}$$

2. $\frac{2}{3} \leq x < \frac{3}{4}$:
$|x - \frac{2}{3}| = x - \frac{2}{3}$ và $|x - \frac{3}{4}| = \frac{3}{4} - x$
$$x - \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - x = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$$
Điều này đúng với mọi $\frac{2}{3} \leq x < \frac{3}{4}$.

3. $x < \frac{2}{3}$:
$|x - \frac{2}{3}| = \frac{2}{3} - x$ và $|x - \frac{3}{4}| = \frac{3}{4} - x$
$$\frac{2}{3} - x + \frac{3}{4} - x = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{17}{12} - 2x = \frac{1}{12} \Rightarrow -2x = -\frac{16}{12} \Rightarrow x = \frac{2}{3}$$

Vậy nghiệm của phương trình là $x \leq \frac{3}{4}$.

c) $2|x - 3| + 2x + 5 = 11$

Xét các trường hợp:
1. $x \geq 3$:
$|x - 3| = x - 3$
$$2(x - 3) + 2x + 5 = 11 \Rightarrow 2x - 6 + 2x + 5 = 11 \Rightarrow 4x - 1 = 11 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3$$

2. $x < 3$:
$|x - 3| = 3 - x$
$$2(3 - x) + 2x + 5 = 11 \Rightarrow 6 - 2x + 2x + 5 = 11 \Rightarrow 11 = 11$$
Điều này đúng với mọi $x < 3$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x \leq 3$.

d) $|x - 3| + |5 - x| + 2|x - 4| = 2$

Xét các trường hợp:
1. $x \geq 5$:
$|x - 3| = x - 3$, $|5 - x| = x - 5$, và $|x - 4| = x - 4$
$$x - 3 + x - 5 + 2(x - 4) = 2 \Rightarrow 4x - 16 = 2 \Rightarrow 4x = 18 \Rightarrow x = 4.5$$
Điều này không thỏa mãn $x \geq 5$.

2. $4 \leq x < 5$:
$|x - 3| = x - 3$, $|5 - x| = 5 - x$, và $|x - 4| = x - 4$
$$x - 3 + 5 - x + 2(x - 4) = 2 \Rightarrow 2x - 6 = 2 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$$
Điều này không thỏa mãn $4 \leq x < 5$.

3. $3 \leq x < 4$:
$|x - 3| = x - 3$, $|5 - x| = 5 - x$, và $|x - 4| = 4 - x$
$$x - 3 + 5 - x + 2(4 - x) = 2 \Rightarrow 8 - 2x = 2 \Rightarrow -2x = -6 \Rightarrow x = 3$$
Điều này không thỏa mãn $3 \leq x < 4$.

4. $x < 3$:
$|x - 3| = 3 - x$, $|5 - x| = 5 - x$, và $|x - 4| = 4 - x$
$$3 - x + 5 - x + 2(4 - x) = 2 \Rightarrow 16 - 4x = 2 \Rightarrow -4x = -14 \Rightarrow x = 3.5$$
Điều này không thỏa mãn $x < 3$.

Vậy phương trình không có nghiệm.