Cho đa thức sau. Hãy tính P(x) + Q(x) và P (x) – Q (x) theo hai cách? Cho hai đa thức sau. Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo luỹ thừa tăng của biến? Tính M(x) + N(x) và M(x) – N(x) theo hai cách

### Bài 1:
Cho hai đa thức: \( P(x) = 7x^4 + 5x^3 + 8x^2 \) và \( Q(x) = x^4 - 3x^3 + 8x^2 - 5x \).

#### Tính \( P(x) + Q(x) \) và \( P(x) - Q(x) \) theo hai cách:

**Cách 1: Cộng và trừ trực tiếp các hệ số tương ứng:**

1. \( P(x) + Q(x) \):
\[
P(x) + Q(x) = (7x^4 + 5x^3 + 8x^2) + (x^4 - 3x^3 + 8x^2 - 5x)
\]
\[
= (7x^4 + x^4) + (5x^3 - 3x^3) + (8x^2 + 8x^2) - 5x
\]
\[
= 8x^4 + 2x^3 + 16x^2 - 5x
\]

2. \( P(x) - Q(x) \):
\[
P(x) - Q(x) = (7x^4 + 5x^3 + 8x^2) - (x^4 - 3x^3 + 8x^2 - 5x)
\]
\[
= (7x^4 - x^4) + (5x^3 + 3x^3) + (8x^2 - 8x^2) + 5x
\]
\[
= 6x^4 + 8x^3 + 5x
\]

**Cách 2: Viết lại và sắp xếp các hạng tử trước khi cộng và trừ:**

1. \( P(x) + Q(x) \):
\[
P(x) = 7x^4 + 5x^3 + 8x^2
\]
\[
Q(x) = x^4 - 3x^3 + 8x^2 - 5x
\]
\[
P(x) + Q(x) = 8x^4 + 2x^3 + 16x^2 - 5x
\]

2. \( P(x) - Q(x) \):
\[
P(x) = 7x^4 + 5x^3 + 8x^2
\]
\[
Q(x) = x^4 - 3x^3 + 8x^2 - 5x
\]
\[
P(x) - Q(x) = 6x^4 + 8x^3 + 5x
\]

### Bài 2:
Cho hai đa thức: \( M(x) = -5 + x - 3 - 5x^2 + x^3 \) và \( N(x) = x^3 + 2x^3 - x + x^2 - 2x^3 + x - 1 \).

#### a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo luỹ thừa tăng của biến:

1. \( M(x) \):
\[
M(x) = x^3 - 5x^2 + x - 8
\]

2. \( N(x) \):
\[
N(x) = x^3 + 2x^3 - 2x^3 + x^2 - x + x - 1
\]
\[
= x^3 + x^2 - 1
\]

#### b) Tính \( M(x) + N(x) \) và \( M(x) - N(x) \) theo hai cách:

**Cách 1: Cộng và trừ trực tiếp các hệ số tương ứng:**

1. \( M(x) + N(x) \):
\[
M(x) + N(x) = (x^3 - 5x^2 + x - 8) + (x^3 + x^2 - 1)
\]
\[
= (x^3 + x^3) + (-5x^2 + x^2) + (x - x) - 8 - 1
\]
\[
= 2x^3 - 4x^2 - 9
\]

2. \( M(x) - N(x) \):
\[
M(x) - N(x) = (x^3 - 5x^2 + x - 8) - (x^3 + x^2 - 1)
\]
\[
= (x^3 - x^3) + (-5x^2 - x^2) + (x - x) - 8 + 1
\]
\[
= -6x^2 - 7
\]

**Cách 2: Viết lại và sắp xếp các hạng tử trước khi cộng và trừ:**

1. \( M(x) + N(x) \):
\[
M(x) = x^3 - 5x^2 + x - 8
\]
\[
N(x) = x^3 + x^2 - 1
\]
\[
M(x) + N(x) = 2x^3 - 4x^2 - 9
\]

2. \( M(x) - N(x) \):
\[
M(x) = x^3 - 5x^2 + x - 8
\]
\[
N(x) = x^3 + x^2 - 1
\]
\[
M(x) - N(x) = -6x^2 - 7
\]

### Bài 3:
Cho các đa thức: \( M(y) = y^5 + y^3 - 3y + 1 - y^2 + y - y + 7y^5 \) và \( N(y) = 15y^3 + 5y - y^5 - 5y^2 - 4y^3 - 2y \).

#### a) Thu gọn các đa thức trên:

1. \( M(y) \):
\[
M(y) = y^5 + 7y^5 + y^3 - y^2 - 3y + y - y + 1
\]
\[
= 8y^5 + y^3 - y^2 - 3y + 1
\]

2. \( N(y) \):
\[
N(y) = 15y^3 - 4y^3 - y^5 - 5y^2 + 5y - 2y
\]
\[
= -y^5 + 11y^3 - 5y^2 + 3y
\]

#### b) Tính \( M(y) + N(y) \) và \( N(y) - M(y) \):

1. \( M(y) + N(y) \):
\[
M(y) + N(y) = (8y^5 + y^3 - y^2 - 3y + 1) + (-y^5 + 11y^3 - 5y^2 + 3y)
\]
\[
= (8y^5 - y^5) + (y^3 + 11y^3) + (-y^2 - 5y^2) + (-3y + 3y) + 1
\]
\[
= 7y^5 + 12y^3 - 6y^2 + 1
\]

2. \( N(y) - M(y) \):
\[
N(y) - M(y) = (-y^5 + 11y^3 - 5y^2 + 3y) - (8y^5 + y^3 - y^2 - 3y + 1)
\]
\[
= (-y^5 - 8y^5) + (11y^3 - y^3) + (-5y^2 + y^2) + (3y + 3y) - 1
\]
\[
= -9y^5 + 10y^3 - 4y^2 + 6y - 1
\]

### Bài 4:
Cho các đa thức: \( P(x) = x^5 - 2x^4 + x^2 - x + 1 \) và \( Q(x) = 6 - 2x + 3x^3 + x^4 - 3x^5 \).

#### Tính \( P(x) - Q(x) \) và \( Q(x) - P(x) \):

1. \( P(x) - Q(x) \):
\[
P(x) - Q(x) = (x^5 - 2x^4 + x^2 - x + 1) - (6 - 2x + 3x^3 + x^4 - 3x^5)
\]
\[
= (x^5 + 3x^5) + (-2x^4 - x^4) - 3x^3 + x^2 - x + 2x - 6 + 1
\]
\[
= 4x^5 - 3x^4 - 3x^3 + x^2 + x - 5
\]

2. \( Q(x) - P(x) \):
\[
Q(x) - P(x) = (6 - 2x + 3x^3 + x^4 - 3x^5) - (x^5 - 2x^4 + x^2 - x + 1)
\]
\[
= (-3x^5 - x^5) + (x^4 + 2x^4) + 3x^3 - x^2 - 2x + x - 6 + 1
\]
\[
= -4x^5 + 3x^4 + 3x^3 - x^2 - x - 5
\]

**Nhận xét:** Các hệ số của hai đa thức tìm được là đối nhau.

### Bài 5:
Cho các đa thức: \( P(x) = 2x^4 - 2x^3 - x + 1 \), \( Q(x) = -x^4 + 5x^2 + 4x \), \( H(x) = -2x^4 + x^3 \).

#### Tính \( P(x) + Q(x) + H(x) \) và \( P(x) - Q(x) - H(x) \):

1. \( P(x) + Q(x) + H(x) \):
\[
P(x) + Q(x) + H(x) = (2x^4 - 2x^3 - x + 1) + (-x^4 + 5x^2 + 4x) + (-2x^4 + x^3)
\]
\[
= (2x^4 - x^4 - 2x^4) + (-2x^3 + x^3) + 5x^2 + (-x + 4x) + 1
\]
\[
= -x^4 - x^3 + 5x^2 + 3x + 1
\]

2. \( P(x) - Q(x) - H(x) \):
\[
P(x) - Q(x) - H(x) = (2x^4 - 2x^3 - x + 1) - (-x^4 + 5x^2 + 4x) - (-2x^4 + x^3)
\]
\[
= (2x^4 + x^4 + 2x^4) + (-2x^3 - x^3) - 5x^2 + (-x - 4x) + 1
\]
\[
= 5x^4 - 3x^3 - 5x^2 - 5x + 1
\]

### Bài 6:
Cho đa thức \( A(x) = 2x^4 - 3x^2 + \frac{1}{2} - 4x \).

#### a) Tìm đa thức \( B(x) \) sao cho \( A(x) + B(x) = 4x^3 - 2x^2 - 1 \):

1. \( A(x) + B(x) = 4x^3 - 2x^2 - 1 \)
\[
B(x) = 4x^3 - 2x^2 - 1 - A(x)
\]
\[
B(x) = 4x^3 - 2x^2 - 1 - (2x^4 - 3x^2 + \frac{1}{2} - 4x)
\]
\[
B(x) = -2x^4 + 4x^3 + x^2 - 4x - \frac{3}{2}
\]

#### b) Tìm đa thức \( C(x) \) sao cho \( A(x) - C(x) = 2x^3 \):

1. \( A(x) - C(x) = 2x^3 \)
\[
C(x) = A(x) - 2x^3
\]
\[
C(x) = 2x^4 - 3x^2 + \frac{1}{2} - 4x - 2x^3
\]
\[
C(x) = 2x^4 - 2x^3 - 3x^2 - 4x + \frac{1}{2}
\]

### Bài 7:
Cho đa thức \( P(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 6 \).

#### a) Viết đa thức \( P(x) \) thành tổng của hai đa thức một biến:

1. \( P(x) = (5x^3 - 2x^2) + (7x - 6) \)

#### b) Viết đa thức \( P(x) \) thành hiệu của hai đa thức một biến:

1. \( P(x) = (5x^3 + 7x) - (2x^2 + 6) \)

#### c) Bạn Vinh nêu nhận xét: "Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thức bậc thấp hơn." Theo em, bạn Vinh nhận xét đúng hay sai? Vì sao?

**Nhận xét:** Bạn Vinh nhận xét đúng. Vì bất kỳ đa thức nào cũng có thể được viết thành tổng của hai đa thức bậc thấp hơn.