Cho tam giác ABC nhọn. Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M, N, K lần lượt là hình chiếu của D lên AB, AC, DE

Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của tam giác và các đường cao.

### Phần a: Chứng minh \( \frac{AF}{AN} = \frac{AH}{AD} \)

1. **Xét tam giác \( AHF \) và tam giác \( ADN \):**

- \( \angle AHF = \angle ADN = 90^\circ \) (do \( AD \) là đường cao).
- \( \angle HAF = \angle DAN \) (cùng là góc nhọn của tam giác \( AHF \) và \( ADN \)).

Do đó, hai tam giác \( AHF \) và \( ADN \) đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

2. **Từ tính chất đồng dạng của hai tam giác:**

\[
\frac{AF}{AN} = \frac{AH}{AD}
\]

### Phần b: Chứng minh \( EF \parallel MN \)

1. **Xét tam giác \( ADE \) và tam giác \( DMN \):**

- \( M \) và \( N \) lần lượt là hình chiếu của \( D \) lên \( AB \) và \( AC \), do đó \( DM \perp AB \) và \( DN \perp AC \).
- \( K \) là hình chiếu của \( D \) lên \( DE \), do đó \( DK \perp DE \).

2. **Xét tam giác \( DEF \):**

- \( E \) và \( F \) là chân đường cao từ \( B \) và \( C \) xuống \( AC \) và \( AB \), do đó \( EF \perp AD \).

3. **Từ các tính chất trên:**

- \( DM \perp AB \) và \( DN \perp AC \), do đó \( MN \perp AD \).
- \( EF \perp AD \).

Vì \( MN \) và \( EF \) đều vuông góc với \( AD \), nên \( MN \parallel EF \).

### Phần c: Chứng minh \( MK \parallel EF \)

1. **Xét tam giác \( DMK \):**

- \( M \) và \( K \) lần lượt là hình chiếu của \( D \) lên \( AB \) và \( DE \), do đó \( DM \perp AB \) và \( DK \perp DE \).

2. **Xét tam giác \( DEF \):**

- \( E \) và \( F \) là chân đường cao từ \( B \) và \( C \) xuống \( AC \) và \( AB \), do đó \( EF \perp AD \).

3. **Từ các tính chất trên:**

- \( DM \perp AB \) và \( DK \perp DE \), do đó \( MK \perp AD \).
- \( EF \perp AD \).

Vì \( MK \) và \( EF \) đều vuông góc với \( AD \), nên \( MK \parallel EF \).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán.