Để chứng minh rằng bốn điểm \( M, N, P, Q \) thẳng hàng, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và trung điểm.

1. **Xác định các điểm và trung điểm:**
- \( M \) là trực tâm của tam giác \( ABC \).
- \( E \) là trung điểm của \( MA \).
- \( F \) là trung điểm của \( BC \).
- \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( EF \).
- \( P \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \).
- \( J \) là trung điểm của \( AC \).
- Đường thẳng qua \( J \) vuông góc với \( AC \) cắt đường thẳng qua \( F \) vuông góc với \( BC \) tại \( Q \).

2. **Tính chất của các điểm trung điểm:**
- \( E \) là trung điểm của \( MA \), do đó \( E \) nằm trên đường trung bình của tam giác \( AMB \).
- \( F \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( F \) nằm trên đường trung bình của tam giác \( BMC \).
- \( N \) là trung điểm của \( EF \), do đó \( N \) nằm trên đường trung bình của tam giác \( EFM \).

3. **Tính chất của trọng tâm \( P \):**
- Trọng tâm \( P \) chia mỗi đường trung tuyến của tam giác thành tỉ lệ \( 2:1 \).

4. **Tính chất của trực tâm \( M \):**
- Trực tâm \( M \) là giao điểm của ba đường cao của tam giác \( ABC \).

5. **Chứng minh sự thẳng hàng:**
- Ta cần chứng minh rằng \( M, N, P, Q \) thẳng hàng.
- Xét tam giác \( AMF \), \( E \) là trung điểm của \( MA \), \( F \) là trung điểm của \( BC \), và \( N \) là trung điểm của \( EF \). Do đó, \( N \) nằm trên đường trung bình của tam giác \( AMF \).
- Trọng tâm \( P \) của tam giác \( ABC \) cũng nằm trên đường trung bình của tam giác \( AMF \) vì \( P \) chia mỗi đường trung tuyến của tam giác thành tỉ lệ \( 2:1 \).
- Điểm \( Q \) là giao điểm của hai đường vuông góc với \( AC \) và \( BC \) tại \( J \) và \( F \). Do đó, \( Q \) cũng nằm trên đường trung bình của tam giác \( AMF \).

Vì vậy, các điểm \( M, N, P, Q \) đều nằm trên đường trung bình của tam giác \( AMF \), do đó chúng thẳng hàng.