### 5A. Chứng minh \( ON \cdot OP = OM \cdot OQ \)

Cho hình bình hành \(ABCD\) với \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Một đường thẳng bất kỳ qua \(O\) cắt các đường thẳng \(AD\) và \(BC\) kéo dài lần lượt tại \(M\) và \(N\), đồng thời cắt các cạnh \(AB\) và \(CD\) lần lượt tại \(P\) và \(Q\).

Ta cần chứng minh rằng \(ON \cdot OP = OM \cdot OQ\).

**Chứng minh:**

1. Xét các tam giác \(\triangle AOP\) và \(\triangle COQ\):
- Do \(O\) là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành, ta có \(AO = OC\) và \(BO = OD\).
- Do đó, \(\triangle AOP \sim \triangle COQ\) (góc đối đỉnh và cạnh tương ứng bằng nhau).

2. Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AO}{OC} = \frac{OP}{OQ} \Rightarrow \frac{OP}{OQ} = 1 \Rightarrow OP = OQ
\]

3. Xét các tam giác \(\triangle AOM\) và \(\triangle CON\):
- Tương tự, ta có \(\triangle AOM \sim \triangle CON\).

4. Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AO}{OC} = \frac{OM}{ON} \Rightarrow \frac{OM}{ON} = 1 \Rightarrow OM = ON
\]

5. Từ các kết quả trên, ta có:
\[
ON \cdot OP = OM \cdot OQ
\]

### 5B. Chứng minh \(AM \cdot CN\) không phụ thuộc vào vị trí cát tuyến qua \(D\) và hệ thức \(ID^2 = IM \cdot IN\)

Cho hình bình hành \(ABCD\). Một cát tuyến qua \(D\) cắt đường chéo \(AC\) ở \(I\), cắt cạnh \(BC\) ở \(N\), cắt đường thẳng \(AB\) tại \(M\).

**a) Chứng minh \(AM \cdot CN\) không phụ thuộc vào vị trí cát tuyến qua \(D\):**

1. Xét các tam giác \(\triangle ADM\) và \(\triangle CBN\):
- Do \(ABCD\) là hình bình hành, ta có \(AD \parallel BC\) và \(AB \parallel CD\).
- Do đó, \(\triangle ADM \sim \triangle CBN\) (góc tương ứng bằng nhau).

2. Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AM}{AD} = \frac{CN}{BC}
\]

3. Vì \(AD = BC\) trong hình bình hành, ta có:
\[
AM = CN
\]

4. Do đó, \(AM \cdot CN\) không phụ thuộc vào vị trí cát tuyến qua \(D\).

**b) Chứng minh hệ thức \(ID^2 = IM \cdot IN\):**

1. Xét tam giác \(\triangle AID\) và \(\triangle CID\):
- Do \(I\) là giao điểm của đường chéo \(AC\) và cát tuyến qua \(D\), ta có \(AI = IC\).

2. Xét tam giác \(\triangle AID\) và \(\triangle IMN\):
- Do \(I\) là giao điểm của đường chéo \(AC\) và cát tuyến qua \(D\), ta có \(AI = IC\).

3. Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{ID}{IM} = \frac{IN}{ID}
\]

4. Do đó, ta có:
\[
ID^2 = IM \cdot IN
\]

Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.