Để chứng minh rằng \( AD = AE \), ta có thể sử dụng tính chất của đường phân giác và các tam giác vuông. Dưới đây là các bước chứng minh chi tiết:

1. **Xét tam giác \( \triangle AID \) và \( \triangle AIE \)**:
- Ta có \( ID \perp AB \) và \( IE \perp AC \), do đó \( \triangle AID \) và \( \triangle AIE \) đều là tam giác vuông tại \( D \) và \( E \) tương ứng.

2. **Xét các góc trong tam giác \( \triangle AID \) và \( \triangle AIE \)**:
- Vì \( I \) là giao điểm của các đường phân giác của góc \( B \) và \( C \), nên \( I \) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \).
- Do đó, \( I \) cách đều các cạnh của tam giác \( ABC \), nghĩa là \( ID = IE \).

3. **Xét hai tam giác vuông \( \triangle AID \) và \( \triangle AIE \)**:
- Ta có \( ID = IE \) (từ bước 2).
- Góc \( \angle AID = \angle AIE \) (cùng bằng \( 90^\circ \)).

4. **Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông \( \triangle AID \) và \( \triangle AIE \)**:
- Trong tam giác vuông \( \triangle AID \):
\[
AD^2 = AI^2 + ID^2
\]
- Trong tam giác vuông \( \triangle AIE \):
\[
AE^2 = AI^2 + IE^2
\]

5. **So sánh hai phương trình trên**:
- Vì \( ID = IE \), nên:
\[
AD^2 = AI^2 + ID^2 = AI^2 + IE^2 = AE^2
\]
- Do đó, \( AD = AE \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AD = AE \).