Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn biểu thức \( C \)

Biểu thức \( C \) được cho là:
\[ C = \left( \frac{1}{\sqrt{a-1}} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) \left( \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-2}} + \frac{\sqrt{a+2}}{\sqrt{a-1}} \right) \]

Ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức này.

#### Phần 1: \(\frac{1}{\sqrt{a-1}} - \frac{1}{\sqrt{a}}\)

Ta quy đồng mẫu số:
\[ \frac{1}{\sqrt{a-1}} - \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{a-1}}{\sqrt{a(a-1)}} \]

#### Phần 2: \(\frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-2}} + \frac{\sqrt{a+2}}{\sqrt{a-1}}\)

Ta quy đồng mẫu số:
\[ \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-2}} + \frac{\sqrt{a+2}}{\sqrt{a-1}} = \frac{\sqrt{(a+1)(a-1)} + \sqrt{(a+2)(a-2)}}{\sqrt{(a-2)(a-1)}} \]

Ta có:
\[ \sqrt{(a+1)(a-1)} = \sqrt{a^2 - 1} \]
\[ \sqrt{(a+2)(a-2)} = \sqrt{a^2 - 4} \]

Vậy:
\[ \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-2}} + \frac{\sqrt{a+2}}{\sqrt{a-1}} = \frac{\sqrt{a^2 - 1} + \sqrt{a^2 - 4}}{\sqrt{(a-2)(a-1)}} \]

#### Kết hợp hai phần lại:

\[ C = \left( \frac{\sqrt{a} - \sqrt{a-1}}{\sqrt{a(a-1)}} \right) \left( \frac{\sqrt{a^2 - 1} + \sqrt{a^2 - 4}}{\sqrt{(a-2)(a-1)}} \right) \]

### b) Tìm \( a \) để \( C = \frac{1}{4} \)

Ta có:
\[ \left( \frac{\sqrt{a} - \sqrt{a-1}}{\sqrt{a(a-1)}} \right) \left( \frac{\sqrt{a^2 - 1} + \sqrt{a^2 - 4}}{\sqrt{(a-2)(a-1)}} \right) = \frac{1}{4} \]

Để giải phương trình này, ta cần thử các giá trị của \( a \) thỏa mãn điều kiện \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( a \neq 4 \).

Giả sử \( a = 2 \):
\[ \left( \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{\sqrt{2(2-1)}} \right) \left( \frac{\sqrt{2^2 - 1} + \sqrt{2^2 - 4}}{\sqrt{(2-2)(2-1)}} \right) \]

Tuy nhiên, \( a = 2 \) không thỏa mãn điều kiện \( a \neq 1 \).

Giả sử \( a = 3 \):
\[ \left( \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3(3-1)}} \right) \left( \frac{\sqrt{3^2 - 1} + \sqrt{3^2 - 4}}{\sqrt{(3-2)(3-1)}} \right) \]

Ta cần tính toán cụ thể để kiểm tra giá trị này.

Nếu không tìm được giá trị \( a \) thỏa mãn, ta cần thử các giá trị khác hoặc sử dụng phương pháp giải phương trình phức tạp hơn.

Tóm lại, để tìm giá trị \( a \) thỏa mãn \( C = \frac{1}{4} \), ta cần thử các giá trị \( a \) và kiểm tra điều kiện.