Để rút gọn biểu thức \( P \) và tìm giá trị của \( a \) để \( P \) có giá trị bằng 2, chúng ta thực hiện các bước sau:

Biểu thức ban đầu:
\[ P = \left( \frac{1}{\sqrt{a+1}} - \frac{1}{a + \sqrt{a}} \right) \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 2\sqrt{a} + 1} \]

### Bước 1: Rút gọn biểu thức \( P \)

1. **Phân tích mẫu số của phân thức thứ hai:**
\[ a + 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a} + 1)^2 \]

2. **Biến đổi biểu thức:**
\[ P = \left( \frac{1}{\sqrt{a+1}} - \frac{1}{a + \sqrt{a}} \right) \frac{\sqrt{a} - 1}{(\sqrt{a} + 1)^2} \]

3. **Tách phân thức thứ nhất:**
\[ \frac{1}{a + \sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{1}{\sqrt{a} + 1} \]

4. **Biểu thức trở thành:**
\[ P = \left( \frac{1}{\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{1}{\sqrt{a} + 1} \right) \frac{\sqrt{a} - 1}{(\sqrt{a} + 1)^2} \]

5. **Đưa về mẫu chung:**
\[ P = \left( \frac{\sqrt{a} - \sqrt{a+1}}{\sqrt{a+1}(\sqrt{a} + 1)} \right) \frac{\sqrt{a} - 1}{(\sqrt{a} + 1)^2} \]

6. **Nhân tử chung:**
\[ P = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{a+1})(\sqrt{a} - 1)}{(\sqrt{a+1}(\sqrt{a} + 1))(\sqrt{a} + 1)^2} \]

7. **Rút gọn:**
\[ P = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{a+1})(\sqrt{a} - 1)}{(\sqrt{a+1})(\sqrt{a} + 1)^3} \]

### Bước 2: Tìm \( a \) để \( P \) có giá trị bằng 2

1. **Đặt \( P = 2 \):**
\[ \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{a+1})(\sqrt{a} - 1)}{(\sqrt{a+1})(\sqrt{a} + 1)^3} = 2 \]

2. **Giải phương trình:**
\[ (\sqrt{a} - \sqrt{a+1})(\sqrt{a} - 1) = 2(\sqrt{a+1})(\sqrt{a} + 1)^3 \]

3. **Thử nghiệm giá trị \( a \):**
- Thử \( a = 4 \):
\[ (\sqrt{4} - \sqrt{4+1})(\sqrt{4} - 1) = 2(\sqrt{4+1})(\sqrt{4} + 1)^3 \]
\[ (2 - \sqrt{5})(2 - 1) = 2(\sqrt{5})(2 + 1)^3 \]
\[ (2 - \sqrt{5})(1) = 2(\sqrt{5})(3)^3 \]
\[ 2 - \sqrt{5} = 2 \cdot 5 \cdot 27 \]
\[ 2 - \sqrt{5} = 270 \]
- Không thỏa mãn.

- Thử \( a = 1 \):
\[ (\sqrt{1} - \sqrt{1+1})(\sqrt{1} - 1) = 2(\sqrt{1+1})(\sqrt{1} + 1)^3 \]
\[ (1 - \sqrt{2})(1 - 1) = 2(\sqrt{2})(1 + 1)^3 \]
\[ (1 - \sqrt{2})(0) = 2(\sqrt{2})(2)^3 \]
\[ 0 = 16\sqrt{2} \]
- Không thỏa mãn.

- Thử \( a = 9 \):
\[ (\sqrt{9} - \sqrt{9+1})(\sqrt{9} - 1) = 2(\sqrt{9+1})(\sqrt{9} + 1)^3 \]
\[ (3 - \sqrt{10})(3 - 1) = 2(\sqrt{10})(3 + 1)^3 \]
\[ (3 - \sqrt{10})(2) = 2(\sqrt{10})(4)^3 \]
\[ 6 - 2\sqrt{10} = 2 \cdot 10 \cdot 64 \]
\[ 6 - 2\sqrt{10} = 1280 \]
- Không thỏa mãn.

- Thử \( a = 16 \):
\[ (\sqrt{16} - \sqrt{16+1})(\sqrt{16} - 1) = 2(\sqrt{16+1})(\sqrt{16} + 1)^3 \]
\[ (4 - \sqrt{17})(4 - 1) = 2(\sqrt{17})(4 + 1)^3 \]
\[ (4 - \sqrt{17})(3) = 2(\sqrt{17})(5)^3 \]
\[ 12 - 3\sqrt{17} = 2 \cdot 17 \cdot 125 \]
\[ 12 - 3\sqrt{17} = 4250 \]
- Không thỏa mãn.

Do đó, không có giá trị \( a \) nào thỏa mãn để \( P \) có giá trị bằng 2.