Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b và c.

### Phần a: Tính góc B
Tam giác ABC vuông tại A, có AB = 10 cm và AC = 15 cm.

Ta sử dụng định lý Pythagore để tính cạnh BC:
\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{10^2 + 15^2} = \sqrt{100 + 225} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13} \, \text{cm} \]

Để tính góc B, ta sử dụng công thức lượng giác:
\[ \tan(\angle B) = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{10} = 1.5 \]

Suy ra:
\[ \angle B = \tan^{-1}(1.5) \]

### Phần b: Tính độ dài AI
Phân giác trong góc B cắt AC tại I. Theo định lý phân giác trong tam giác, ta có:
\[ \frac{AI}{IC} = \frac{AB}{BC} \]

Từ đó, ta tính được:
\[ \frac{AI}{IC} = \frac{10}{5\sqrt{13}} = \frac{10}{5\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} \]

Gọi AI = x, IC = AC - x = 15 - x. Ta có:
\[ \frac{x}{15 - x} = \frac{2}{\sqrt{13}} \]

Giải phương trình này:
\[ x \sqrt{13} = 2(15 - x) \]
\[ x \sqrt{13} = 30 - 2x \]
\[ x \sqrt{13} + 2x = 30 \]
\[ x (\sqrt{13} + 2) = 30 \]
\[ x = \frac{30}{\sqrt{13} + 2} \]

### Phần c: Tính độ dài AH
Kẻ AH vuông góc với BI tại H. Để tính độ dài AH, ta cần sử dụng các tính chất hình học và các định lý liên quan.

Do AH vuông góc với BI tại H, ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHI để tính độ dài AH. Tuy nhiên, để làm điều này, ta cần biết độ dài của BI và HI, điều này có thể phức tạp và cần thêm thông tin hoặc các bước tính toán chi tiết hơn.

Tóm lại, để giải quyết phần c, ta cần thêm thông tin hoặc các bước tính toán chi tiết hơn về độ dài của BI và HI.