Để chứng minh rằng \( A = a^{86} - a^{52} \) và \( B = a - 1 \) chia hết cho 43, ta sẽ sử dụng một số tính chất của số học modulo và định lý Fermat nhỏ.

Trước hết, ta biết rằng \( a^{25} - 1 \) chia hết cho 43, tức là:
\[ a^{25} \equiv 1 \pmod{43} \]

1. **Chứng minh \( A = a^{86} - a^{52} \) chia hết cho 43:**

Ta có thể viết lại \( A \) như sau:
\[ A = a^{86} - a^{52} = a^{52}(a^{34} - 1) \]

Do \( a^{25} \equiv 1 \pmod{43} \), ta có thể sử dụng tính chất này để đơn giản hóa các số mũ lớn hơn.

Trước hết, ta xét \( a^{52} \):
\[ a^{52} = a^{2 \cdot 25 + 2} = (a^{25})^2 \cdot a^2 \equiv 1^2 \cdot a^2 \equiv a^2 \pmod{43} \]

Tiếp theo, ta xét \( a^{86} \):
\[ a^{86} = a^{3 \cdot 25 + 11} = (a^{25})^3 \cdot a^{11} \equiv 1^3 \cdot a^{11} \equiv a^{11} \pmod{43} \]

Do đó, ta có:
\[ A = a^{86} - a^{52} \equiv a^{11} - a^2 \pmod{43} \]

Ta cần chứng minh rằng \( a^{11} - a^2 \equiv 0 \pmod{43} \), tức là:
\[ a^{11} \equiv a^2 \pmod{43} \]

Tuy nhiên, điều này không trực tiếp từ \( a^{25} \equiv 1 \pmod{43} \). Nhưng ta có thể kiểm tra lại các bước và thấy rằng \( a^{25} \equiv 1 \pmod{43} \) không đủ để chứng minh \( a^{11} \equiv a^2 \pmod{43} \). Do đó, ta cần thêm thông tin hoặc một cách tiếp cận khác để chứng minh \( A \) chia hết cho 43.

2. **Chứng minh \( B = a - 1 \) chia hết cho 43:**

Từ \( a^{25} \equiv 1 \pmod{43} \), ta có:
\[ a^{25} - 1 \equiv 0 \pmod{43} \]

Điều này có nghĩa là \( a \) là một căn bậc 25 của 1 modulo 43. Một trong những căn bậc 25 của 1 là 1, tức là:
\[ a \equiv 1 \pmod{43} \]

Do đó:
\[ B = a - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{43} \]

Như vậy, \( B \) chia hết cho 43.

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng \( B = a - 1 \) chia hết cho 43. Tuy nhiên, để chứng minh \( A = a^{86} - a^{52} \) chia hết cho 43, ta cần thêm thông tin hoặc một cách tiếp cận khác.