Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

### a) Chứng minh rằng: \(\frac{AB^2}{AC^2} = \frac{HB}{HC}\)

Ta có tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \). Gọi \( D, E \) theo thứ tự là hình chiếu của \( H \) trên \( AB, AC \).

- Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \), ta có:
\[
AB^2 = BH \cdot BC
\]
\[
AC^2 = CH \cdot BC
\]

- Do đó:
\[
\frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BH \cdot BC}{CH \cdot BC} = \frac{BH}{CH}
\]

Vậy ta có:
\[
\frac{AB^2}{AC^2} = \frac{HB}{HC}
\]

### b) Chứng minh rằng: \(DE^2 = BD \cdot CE \cdot BC\)

- Ta có \( D \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \) và \( E \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AC \). Do đó, \( DE \) là đoạn thẳng nối hai hình chiếu này.

- Theo định lý hình chiếu trong tam giác vuông, ta có:
\[
DE^2 = HD \cdot HE
\]

- Trong tam giác vuông \( \Delta AHD \) và \( \Delta AHE \), ta có:
\[
HD = BD \cdot \cos(\angle HDB)
\]
\[
HE = CE \cdot \cos(\angle HEC)
\]

- Do \( \angle HDB = \angle HEC = 90^\circ \), ta có:
\[
\cos(\angle HDB) = \cos(\angle HEC) = 1
\]

- Do đó:
\[
HD = BD
\]
\[
HE = CE
\]

- Vậy:
\[
DE^2 = BD \cdot CE
\]

- Ta có \( BC = AB \cdot \cos(\angle BAC) + AC \cdot \cos(\angle BAC) \). Tuy nhiên, trong tam giác vuông \( \Delta ABC \), \( \cos(\angle BAC) = 1 \).

- Do đó:
\[
BC = AB + AC
\]

- Vậy ta có:
\[
DE^2 = BD \cdot CE \cdot BC
\]

Vậy ta đã chứng minh xong các đẳng thức trong bài toán.