Để chứng minh \(AB^2 = BD^2 - CD^2\) trong tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\) với \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(MD\) vuông góc với cạnh huyền \(BC\), ta làm như sau:

1. **Xét tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\):**
- \(AB\) là một cạnh góc vuông.
- \(AC\) là một cạnh góc vuông.
- \(BC\) là cạnh huyền.

2. **Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\), ta có:**
\[
AM = MC = \frac{AC}{2}
\]

3. **Vẽ \(MD\) vuông góc với \(BC\) tại \(D\):**
- \(MD\) là đường cao từ \(M\) đến cạnh huyền \(BC\).

4. **Xét tam giác vuông \(AMD\) tại \(M\):**
- \(MD\) là đường cao.
- \(AD\) là đoạn thẳng từ \(A\) đến \(D\).

5. **Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(AMD\):**
\[
AD^2 + MD^2 = AM^2
\]

6. **Trong tam giác vuông \(ABC\), áp dụng định lý Pythagore:**
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

7. **Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\), ta có:**
\[
AM = \frac{AC}{2}
\]

8. **Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông:**
\[
AM = \frac{BC}{2}
\]

9. **Vì \(MD\) vuông góc với \(BC\), ta có:**
\[
MD = \sqrt{BD \cdot DC}
\]

10. **Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(ABD\) và \(ACD\):**
\[
AB^2 = AD^2 + BD^2
\]
\[
AC^2 = AD^2 + CD^2
\]

11. **Trừ hai phương trình trên:**
\[
AB^2 - AC^2 = BD^2 - CD^2
\]

12. **Vì \(AC^2 = AB^2 + BC^2\), ta có:**
\[
AB^2 - (AB^2 + BC^2) = BD^2 - CD^2
\]
\[
-BC^2 = BD^2 - CD^2
\]

13. **Do đó, ta có:**
\[
AB^2 = BD^2 - CD^2
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(AB^2 = BD^2 - CD^2\).