Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng

Để chứng minh các bất đẳng thức trong bài toán này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân).

### Phần a:
Chứng minh rằng:
\[ \sqrt[3]{a+7} + \sqrt[3]{b+7} + \sqrt[3]{c+7} \leq 6 \]

Ta xét hàm \( f(x) = \sqrt[3]{x+7} \). Hàm này là hàm lồi vì đạo hàm bậc hai của nó là dương.

Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi \( f(x) \):
\[ f(a) + f(b) + f(c) \leq 3f\left(\frac{a+b+c}{3}\right) \]

Với \( a + b + c = 3 \), ta có:
\[ \frac{a+b+c}{3} = 1 \]

Do đó:
\[ f(a) + f(b) + f(c) \leq 3f(1) \]

Tính \( f(1) \):
\[ f(1) = \sqrt[3]{1+7} = \sqrt[3]{8} = 2 \]

Vậy:
\[ \sqrt[3]{a+7} + \sqrt[3]{b+7} + \sqrt[3]{c+7} \leq 3 \times 2 = 6 \]

### Phần b:
Chứng minh rằng:
\[ \sqrt[3]{15ab + a} + \sqrt[3]{15bc + b} + \sqrt[3]{15ca + c} \leq 6 \]

Ta xét hàm \( g(x, y) = \sqrt[3]{15xy + x} \). Hàm này cũng là hàm lồi vì đạo hàm bậc hai của nó là dương.

Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi \( g(x, y) \):
\[ g(a, b) + g(b, c) + g(c, a) \leq 3g\left(\frac{a+b+c}{3}, \frac{a+b+c}{3}\right) \]

Với \( a + b + c = 3 \), ta có:
\[ \frac{a+b+c}{3} = 1 \]

Do đó:
\[ g(a, b) + g(b, c) + g(c, a) \leq 3g(1, 1) \]

Tính \( g(1, 1) \):
\[ g(1, 1) = \sqrt[3]{15 \cdot 1 \cdot 1 + 1} = \sqrt[3]{16} = 2 \]

Vậy:
\[ \sqrt[3]{15ab + a} + \sqrt[3]{15bc + b} + \sqrt[3]{15ca + c} \leq 3 \times 2 = 6 \]

Như vậy, cả hai bất đẳng thức đều được chứng minh.