Để tìm các số nguyên \(a\) và \(b\) thỏa mãn phương trình:

\[
\frac{a}{3} - \frac{4}{b} = \frac{1}{5}
\]

Trước tiên, ta quy đồng mẫu số của hai phân số bên trái:

\[
\frac{a}{3} - \frac{4}{b} = \frac{ab - 12}{3b}
\]

Do đó, phương trình trở thành:

\[
\frac{ab - 12}{3b} = \frac{1}{5}
\]

Nhân chéo hai vế của phương trình:

\[
5(ab - 12) = 3b
\]

Giải phương trình này:

\[
5ab - 60 = 3b
\]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:

\[
5ab - 3b = 60
\]

Rút gọn bằng cách đặt \(b\) làm nhân tử chung:

\[
b(5a - 3) = 60
\]

Do đó, \(b\) phải là một ước của 60. Các ước của 60 là: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 30, \pm 60\).

Xét từng trường hợp để tìm \(a\):

1. \(b = 1\):

\[
1(5a - 3) = 60 \implies 5a - 3 = 60 \implies 5a = 63 \implies a = \frac{63}{5} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

2. \(b = -1\):

\[
-1(5a - 3) = 60 \implies -5a + 3 = 60 \implies -5a = 57 \implies a = -\frac{57}{5} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

3. \(b = 2\):

\[
2(5a - 3) = 60 \implies 10a - 6 = 60 \implies 10a = 66 \implies a = \frac{66}{10} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

4. \(b = -2\):

\[
-2(5a - 3) = 60 \implies -10a + 6 = 60 \implies -10a = 54 \implies a = -\frac{54}{10} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

5. \(b = 3\):

\[
3(5a - 3) = 60 \implies 15a - 9 = 60 \implies 15a = 69 \implies a = \frac{69}{15} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

6. \(b = -3\):

\[
-3(5a - 3) = 60 \implies -15a + 9 = 60 \implies -15a = 51 \implies a = -\frac{51}{15} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

7. \(b = 4\):

\[
4(5a - 3) = 60 \implies 20a - 12 = 60 \implies 20a = 72 \implies a = \frac{72}{20} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

8. \(b = -4\):

\[
-4(5a - 3) = 60 \implies -20a + 12 = 60 \implies -20a = 48 \implies a = -\frac{48}{20} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

9. \(b = 5\):

\[
5(5a - 3) = 60 \implies 25a - 15 = 60 \implies 25a = 75 \implies a = 3 \quad (\text{số nguyên})
\]

10. \(b = -5\):

\[
-5(5a - 3) = 60 \implies -25a + 15 = 60 \implies -25a = 45 \implies a = -\frac{45}{25} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

11. \(b = 6\):

\[
6(5a - 3) = 60 \implies 30a - 18 = 60 \implies 30a = 78 \implies a = \frac{78}{30} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

12. \(b = -6\):

\[
-6(5a - 3) = 60 \implies -30a + 18 = 60 \implies -30a = 42 \implies a = -\frac{42}{30} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

13. \(b = 10\):

\[
10(5a - 3) = 60 \implies 50a - 30 = 60 \implies 50a = 90 \implies a = \frac{90}{50} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

14. \(b = -10\):

\[
-10(5a - 3) = 60 \implies -50a + 30 = 60 \implies -50a = 30 \implies a = -\frac{30}{50} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

15. \(b = 12\):

\[
12(5a - 3) = 60 \implies 60a - 36 = 60 \implies 60a = 96 \implies a = \frac{96}{60} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

16. \(b = -12\):

\[
-12(5a - 3) = 60 \implies -60a + 36 = 60 \implies -60a = 24 \implies a = -\frac{24}{60} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

17. \(b = 15\):

\[
15(5a - 3) = 60 \implies 75a - 45 = 60 \implies 75a = 105 \implies a = \frac{105}{75} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

18. \(b = -15\):

\[
-15(5a - 3) = 60 \implies -75a + 45 = 60 \implies -75a = 15 \implies a = -\frac{15}{75} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

19. \(b = 20\):

\[
20(5a - 3) = 60 \implies 100a - 60 = 60 \implies 100a = 120 \implies a = \frac{120}{100} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

20. \(b = -20\):

\[
-20(5a - 3) = 60 \implies -100a + 60 = 60 \implies -100a = 0 \implies a = 0 \quad (\text{số nguyên})
\]

21. \(b = 30\):

\[
30(5a - 3) = 60 \implies 150a - 90 = 60 \implies 150a = 150 \implies a = 1 \quad (\text{số nguyên})
\]

22. \(b = -30\):

\[
-30(5a - 3) = 60 \implies -150a + 90 = 60 \implies -150a = -30 \implies a = \frac{30}{150} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

23. \(b = 60\):

\[
60(5a - 3) = 60 \implies 300a - 180 = 60 \implies 300a = 240 \implies a = \frac{240}{300} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

24. \(b = -60\):

\[
-60(5a - 3) = 60 \implies -300a + 180 = 60 \implies -300a = -120 \implies a = \frac{120}{300} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

Vậy các cặp số nguyên \((a, b)\) thỏa mãn phương trình là:

\[
(a, b) = (3, 5), (0, -20), (1, 30)
\]