Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

### Phần a: Chứng minh rằng AC là đường trung trực của đoạn BD

Giả sử tứ giác ABCD có AB = AD và CB = CD.

1. **Chứng minh AC vuông góc với BD:**

- Xét hai tam giác ABD và CBD:
- Trong tam giác ABD, ta có AB = AD (giả thiết).
- Trong tam giác CBD, ta có CB = CD (giả thiết).

- Xét tam giác ABD và tam giác CBD:
- AB = AD (giả thiết).
- CB = CD (giả thiết).
- AC là cạnh chung của hai tam giác này.

- Do đó, hai tam giác ABD và CBD là hai tam giác cân có chung cạnh AC. Vì vậy, hai tam giác này đối xứng qua đường thẳng AC.

- Do đó, AC là đường trung trực của đoạn BD, nghĩa là AC vuông góc với BD tại trung điểm của BD.

2. **Chứng minh AC đi qua trung điểm của BD:**

- Gọi M là giao điểm của AC và BD.
- Vì AC là đường trung trực của BD, nên M là trung điểm của BD.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng AC là đường trung trực của đoạn BD.

### Phần b: Tính các góc B và D

Giả sử góc tại A là \(\angle BAC\) và \(\angle CAD\).

1. **Tính góc B:**

- Xét tam giác ABD:
- Tam giác ABD là tam giác cân tại A (vì AB = AD).
- Do đó, \(\angle ABD = \angle ADB\).

- Xét tam giác CBD:
- Tam giác CBD là tam giác cân tại C (vì CB = CD).
- Do đó, \(\angle CBD = \angle CDB\).

- Vì AC là đường trung trực của BD, nên \(\angle BAC = \angle CAD\).

2. **Tính góc D:**

- Tương tự, trong tam giác ABD và CBD, các góc tại B và D cũng bằng nhau.

- Tổng các góc trong tứ giác ABCD là \(360^\circ\).

- Do đó, ta có:
\[
2\angle B + 2\angle D = 360^\circ
\]
\[
\angle B + \angle D = 180^\circ
\]

- Vì \(\angle B = \angle D\), ta có:
\[
2\angle B = 180^\circ
\]
\[
\angle B = 90^\circ
\]

- Tương tự, ta có:
\[
\angle D = 90^\circ
\]

Vậy, các góc B và D đều bằng \(90^\circ\).