Để tính các độ dài và góc trong tam giác ABC vuông tại A với các thông tin đã cho, ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất của tam giác vuông và đường cao.

1. **Tính độ dài AB và AC:**

Ta có tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, và các đoạn thẳng HB và HC đã biết:
- \( HB = 4 \) cm
- \( HC = 9 \) cm

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[ AH^2 = HB \cdot HC \]

Tính độ dài AH:
\[ AH^2 = 4 \cdot 9 = 36 \]
\[ AH = \sqrt{36} = 6 \text{ cm} \]

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHB và AHC:
\[ AB^2 = AH^2 + HB^2 \]
\[ AB^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 \]
\[ AB = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \text{ cm} \]

\[ AC^2 = AH^2 + HC^2 \]
\[ AC^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117 \]
\[ AC = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \text{ cm} \]

2. **Tính độ dài MN:**

M và N là hình chiếu của H trên AB và AC, tức là MN là đoạn thẳng nối từ M đến N và song song với BC. Do đó, MN là đoạn thẳng vuông góc với AH và có độ dài bằng độ dài của đường cao AH.

\[ MN = AH = 6 \text{ cm} \]

3. **Tính góc ABN:**

Góc ABN là góc giữa đường thẳng AB và đường thẳng BN. Ta có thể tính góc này bằng cách sử dụng các tam giác vuông nhỏ hơn trong tam giác ABC.

Trong tam giác vuông AHC:
\[ \tan(\angle HAC) = \frac{HC}{AH} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \]

Do đó:
\[ \angle HAC = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) \]

Trong tam giác vuông AHB:
\[ \tan(\angle HAB) = \frac{HB}{AH} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Do đó:
\[ \angle HAB = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) \]

Góc ABN là tổng của hai góc này:
\[ \angle ABN = \angle HAB + \angle HAC = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \arctan\left(\frac{3}{2}\right) \]

Tóm lại, các kết quả là:
- \( AB = 2\sqrt{13} \) cm
- \( AC = 3\sqrt{13} \) cm
- \( MN = 6 \) cm
- \( \angle ABN = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \arctan\left(\frac{3}{2}\right) \)