Để hàm số \( f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x + m} \) xác định trên đoạn \([0; 4]\), biểu thức dưới dấu căn \(-x^2 + 6x + m\) phải không âm trên đoạn này, tức là:

\[ -x^2 + 6x + m \geq 0 \]

Chúng ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho bất đẳng thức này đúng với mọi \( x \) thuộc đoạn \([0; 4]\).

Xét hàm số \( g(x) = -x^2 + 6x + m \). Đây là một parabol có hệ số của \( x^2 \) âm, nên nó có đỉnh quay xuống dưới. Để \( g(x) \geq 0 \) trên đoạn \([0; 4]\), đỉnh của parabol phải nằm trong đoạn này và giá trị của parabol tại hai đầu đoạn phải không âm.

Đỉnh của parabol \( g(x) \) là:

\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{-2} = 3 \]

Giá trị của \( g(x) \) tại đỉnh \( x = 3 \) là:

\[ g(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 + m = -9 + 18 + m = 9 + m \]

Để \( g(x) \geq 0 \) trên đoạn \([0; 4]\), ta cần:

\[ g(0) \geq 0 \]
\[ g(4) \geq 0 \]
\[ g(3) \geq 0 \]

Tính \( g(0) \) và \( g(4) \):

\[ g(0) = -0^2 + 6 \cdot 0 + m = m \]
\[ g(4) = -4^2 + 6 \cdot 4 + m = -16 + 24 + m = 8 + m \]

Vậy, ta có các điều kiện:

\[ m \geq 0 \]
\[ 8 + m \geq 0 \]
\[ 9 + m \geq 0 \]

Điều kiện \( 8 + m \geq 0 \) và \( 9 + m \geq 0 \) luôn đúng nếu \( m \geq -8 \). Tuy nhiên, điều kiện \( m \geq 0 \) là mạnh hơn, nên ta chỉ cần \( m \geq 0 \).

Do đó, \( m \) phải thuộc đoạn \([0; 20]\) để hàm số xác định trên đoạn \([0; 4]\).

Các giá trị nguyên của \( m \) thuộc đoạn \([0; 20]\) là:

\[ 0, 1, 2, \ldots, 20 \]

Có tất cả \( 21 \) giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn yêu cầu.

Vậy, có \( 21 \) tham số nguyên \( m \) thuộc \([-20; 20]\) để \( f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x + m} \) xác định trên \([0; 4]\).