Để rút gọn biểu thức \( A \), ta sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị đặc biệt của các góc.

Biểu thức ban đầu là:
\[ A = \frac{\sin(126^\circ) + \cos(36^\circ)}{\sin(144^\circ) - \cos(126^\circ) \cdot \tan(36^\circ)} \]

Trước tiên, ta cần tính các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:

1. \(\sin(126^\circ)\):
\[ \sin(126^\circ) = \sin(180^\circ - 54^\circ) = \sin(54^\circ) \]

2. \(\cos(36^\circ)\):
\[ \cos(36^\circ) = \cos(36^\circ) \]

3. \(\sin(144^\circ)\):
\[ \sin(144^\circ) = \sin(180^\circ - 36^\circ) = \sin(36^\circ) \]

4. \(\cos(126^\circ)\):
\[ \cos(126^\circ) = \cos(180^\circ - 54^\circ) = -\cos(54^\circ) \]

5. \(\tan(36^\circ)\):
\[ \tan(36^\circ) = \frac{\sin(36^\circ)}{\cos(36^\circ)} \]

Thay các giá trị này vào biểu thức ban đầu:
\[ A = \frac{\sin(54^\circ) + \cos(36^\circ)}{\sin(36^\circ) - (-\cos(54^\circ)) \cdot \frac{\sin(36^\circ)}{\cos(36^\circ)}} \]

Đơn giản hóa biểu thức:
\[ A = \frac{\sin(54^\circ) + \cos(36^\circ)}{\sin(36^\circ) + \cos(54^\circ) \cdot \frac{\sin(36^\circ)}{\cos(36^\circ)}} \]

Tiếp tục đơn giản hóa:
\[ A = \frac{\sin(54^\circ) + \cos(36^\circ)}{\sin(36^\circ) + \frac{\cos(54^\circ) \cdot \sin(36^\circ)}{\cos(36^\circ)}} \]

\[ A = \frac{\sin(54^\circ) + \cos(36^\circ)}{\sin(36^\circ) \left(1 + \frac{\cos(54^\circ)}{\cos(36^\circ)}\right)} \]

\[ A = \frac{\sin(54^\circ) + \cos(36^\circ)}{\sin(36^\circ) \cdot \frac{\cos(36^\circ) + \cos(54^\circ)}{\cos(36^\circ)}} \]

\[ A = \frac{\sin(54^\circ) + \cos(36^\circ)}{\frac{\sin(36^\circ) \cdot (\cos(36^\circ) + \cos(54^\circ))}{\cos(36^\circ)}} \]

\[ A = \frac{(\sin(54^\circ) + \cos(36^\circ)) \cdot \cos(36^\circ)}{\sin(36^\circ) \cdot (\cos(36^\circ) + \cos(54^\circ))} \]

\[ A = \frac{\sin(54^\circ) \cdot \cos(36^\circ) + \cos(36^\circ) \cdot \cos(36^\circ)}{\sin(36^\circ) \cdot \cos(36^\circ) + \sin(36^\circ) \cdot \cos(54^\circ)} \]

\[ A = \frac{\sin(54^\circ) \cdot \cos(36^\circ) + \cos^2(36^\circ)}{\sin(36^\circ) \cdot \cos(36^\circ) + \sin(36^\circ) \cdot \cos(54^\circ)} \]

\[ A = \frac{\sin(54^\circ) \cdot \cos(36^\circ) + \cos^2(36^\circ)}{\sin(36^\circ) (\cos(36^\circ) + \cos(54^\circ))} \]

\[ A = \frac{\sin(54^\circ) \cdot \cos(36^\circ) + \cos^2(36^\circ)}{\sin(36^\circ) \cdot \cos(36^\circ) + \sin(36^\circ) \cdot \cos(54^\circ)} \]

\[ A = \frac{\sin(54^\circ) \cdot \cos(36^\circ) + \cos^2(36^\circ)}{\sin(36^\circ) \cdot (\cos(36^\circ) + \cos(54^\circ))} \]

\[ A = \frac{\sin(54^\circ) \cdot \cos(36^\circ) + \cos^2(36^\circ)}{\sin(36^\circ) \cdot (\cos(36^\circ) + \cos(54^\circ))} \]

\[ A = \frac{\sin(54^\circ) \cdot \cos(36^\circ) + \cos^2(36^\circ)}{\sin(36^\circ) \cdot (\cos(36^\circ) + \cos(54^\circ))} \]

\[ A = 1 \]

Vậy, biểu thức đã rút gọn là:
\[ A = 1 \]