Để chứng minh \( A = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \cdots + \frac{1}{200} \) thỏa mãn \( \frac{7}{12} < A < 1 \), ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức và tính toán gần đúng.

### Chứng minh \( A < 1 \)

Đầu tiên, ta có thể thấy rằng mỗi phân số trong tổng \( A \) đều nhỏ hơn hoặc bằng \( \frac{1}{101} \). Do đó:

\[
A < 100 \cdot \frac{1}{101} = \frac{100}{101} < 1
\]

### Chứng minh \( A > \frac{7}{12} \)

Để chứng minh \( A > \frac{7}{12} \), ta sẽ sử dụng tích phân để ước lượng tổng này.

Xét hàm \( f(x) = \frac{1}{x} \). Ta có:

\[
\int_{101}^{201} \frac{1}{x} \, dx = \ln(201) - \ln(101) = \ln\left(\frac{201}{101}\right)
\]

Ta biết rằng:

\[
\sum_{k=101}^{200} \frac{1}{k} \approx \int_{101}^{201} \frac{1}{x} \, dx = \ln\left(\frac{201}{101}\right)
\]

Tính gần đúng:

\[
\frac{201}{101} \approx 2
\]

Do đó:

\[
\ln\left(\frac{201}{101}\right) \approx \ln(2) \approx 0.693
\]

Ta cần chứng minh rằng:

\[
0.693 > \frac{7}{12}
\]

Tính giá trị của \( \frac{7}{12} \):

\[
\frac{7}{12} \approx 0.583
\]

Rõ ràng \( 0.693 > 0.583 \), do đó:

\[
\ln\left(\frac{201}{101}\right) > \frac{7}{12}
\]

Vì vậy:

\[
A > \frac{7}{12}
\]

### Kết luận

Từ hai phần chứng minh trên, ta có:

\[
\frac{7}{12} < A < 1
\]

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( A = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \cdots + \frac{1}{200} \) thỏa mãn \( \frac{7}{12} < A < 1 \).