Để giải hệ phương trình với các biến \( x \), \( y \), và \( z \) thỏa mãn:

1. \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + 2 = 0\)
2. \(\frac{2}{xy} - \frac{1}{z^2} = 4\)

Ta sẽ tiến hành như sau:

### Bước 1: Giải phương trình thứ nhất
Phương trình thứ nhất là:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + 2 = 0
\]
Chuyển 2 sang vế phải:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = -2
\]

### Bước 2: Giải phương trình thứ hai
Phương trình thứ hai là:
\[
\frac{2}{xy} - \frac{1}{z^2} = 4
\]

### Bước 3: Biến đổi và kết hợp hai phương trình
Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = -2
\]
Đặt \( \frac{1}{x} = a \), \( \frac{1}{y} = b \), và \( \frac{1}{z} = c \), ta có:
\[
a + b + c = -2
\]

Từ phương trình thứ hai, ta có:
\[
\frac{2}{xy} - \frac{1}{z^2} = 4
\]
Sử dụng \( a = \frac{1}{x} \), \( b = \frac{1}{y} \), và \( c = \frac{1}{z} \), ta có:
\[
2ab - c^2 = 4
\]

### Bước 4: Giải hệ phương trình với \( a \), \( b \), và \( c \)
Hệ phương trình trở thành:
1. \( a + b + c = -2 \)
2. \( 2ab - c^2 = 4 \)

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[
c = -2 - a - b
\]

Thay \( c \) vào phương trình thứ hai:
\[
2ab - (-2 - a - b)^2 = 4
\]
\[
2ab - (4 + 4a + 4b + a^2 + b^2 + 2ab) = 4
\]
\[
2ab - 4 - 4a - 4b - a^2 - b^2 - 2ab = 4
\]
\[
- a^2 - b^2 - 4a - 4b - 4 = 4
\]
\[
- a^2 - b^2 - 4a - 4b = 8
\]
\[
a^2 + b^2 + 4a + 4b = -8
\]

### Bước 5: Giải phương trình bậc hai
Đặt \( u = a + 2 \) và \( v = b + 2 \), ta có:
\[
u^2 + v^2 = 0
\]

Vì \( u^2 + v^2 = 0 \), nên \( u = 0 \) và \( v = 0 \). Do đó:
\[
a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2
\]
\[
b + 2 = 0 \Rightarrow b = -2
\]

### Bước 6: Tìm giá trị của \( x \) và \( y \)
Vì \( a = \frac{1}{x} = -2 \) và \( b = \frac{1}{y} = -2 \), ta có:
\[
x = -\frac{1}{2}
\]
\[
y = -\frac{1}{2}
\]

### Kết luận
Giá trị của \( x \) và \( y \) thỏa mãn hệ phương trình đã cho là:
\[
x = -\frac{1}{2}, \quad y = -\frac{1}{2}
\]