Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x^2 + y^2 + m^2 \) với các điều kiện:

\[ x + 2y - m = 4 \]
\[ 2x + y + m = 11 \]

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm các giá trị của \( x \), \( y \), và \( m \).

Bước 1: Giải hệ phương trình

Từ phương trình thứ nhất:
\[ x + 2y - m = 4 \]
\[ m = x + 2y - 4 \]

Thay \( m \) vào phương trình thứ hai:
\[ 2x + y + (x + 2y - 4) = 11 \]
\[ 2x + y + x + 2y - 4 = 11 \]
\[ 3x + 3y - 4 = 11 \]
\[ 3x + 3y = 15 \]
\[ x + y = 5 \]
\[ y = 5 - x \]

Bước 2: Tìm giá trị của \( m \)

Thay \( y = 5 - x \) vào phương trình \( m = x + 2y - 4 \):
\[ m = x + 2(5 - x) - 4 \]
\[ m = x + 10 - 2x - 4 \]
\[ m = -x + 6 \]

Bước 3: Tính giá trị của \( P \)

Thay \( y = 5 - x \) và \( m = -x + 6 \) vào biểu thức \( P \):
\[ P = x^2 + (5 - x)^2 + (-x + 6)^2 \]
\[ P = x^2 + (25 - 10x + x^2) + (x^2 - 12x + 36) \]
\[ P = x^2 + 25 - 10x + x^2 + x^2 - 12x + 36 \]
\[ P = 3x^2 - 22x + 61 \]

Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta tính đạo hàm của \( P \) và giải phương trình \( P' = 0 \):
\[ P' = 6x - 22 \]
\[ 6x - 22 = 0 \]
\[ x = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \]

Thay \( x = \frac{11}{3} \) vào \( y \) và \( m \):
\[ y = 5 - \frac{11}{3} = \frac{15}{3} - \frac{11}{3} = \frac{4}{3} \]
\[ m = -\frac{11}{3} + 6 = -\frac{11}{3} + \frac{18}{3} = \frac{7}{3} \]

Thay \( x = \frac{11}{3} \), \( y = \frac{4}{3} \), và \( m = \frac{7}{3} \) vào \( P \):
\[ P = \left(\frac{11}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{7}{3}\right)^2 \]
\[ P = \frac{121}{9} + \frac{16}{9} + \frac{49}{9} \]
\[ P = \frac{121 + 16 + 49}{9} \]
\[ P = \frac{186}{9} \]
\[ P = \frac{62}{3} \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( \frac{62}{3} \).