Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học phẳng và các định lý liên quan đến tứ giác.

**a) Chứng minh AC là trung trực của BD:**

Để chứng minh AC là trung trực của BD, ta cần chứng minh rằng AC vuông góc với BD tại trung điểm của BD.

1. **Xét tam giác ABD:**
- AB = AD (giả thiết)
- Góc A = 50°

2. **Xét tam giác CBD:**
- CB = CD (giả thiết)
- Góc C = 70°

3. **Xét tam giác ABC và tam giác ADC:**
- Tam giác ABC và tam giác ADC có chung cạnh AC.
- AB = AD (giả thiết)
- CB = CD (giả thiết)
- Góc A + Góc C = 50° + 70° = 120°

4. **Xét tam giác ABD và tam giác CBD:**
- AB = AD (giả thiết)
- CB = CD (giả thiết)
- AC là đường trung trực của BD nếu và chỉ nếu AC vuông góc với BD và chia BD thành hai đoạn bằng nhau.

5. **Chứng minh AC vuông góc với BD:**
- Xét tam giác ABD và tam giác CBD, ta có:
- AB = AD
- CB = CD
- Góc A + Góc C = 120°
- Do đó, tam giác ABD và tam giác CBD là hai tam giác cân có chung cạnh AC và có các góc đối diện bằng nhau.

6. **Chứng minh AC chia BD thành hai đoạn bằng nhau:**
- Vì tam giác ABD và tam giác CBD là hai tam giác cân, nên AC là đường trung trực của BD, tức là AC chia BD thành hai đoạn bằng nhau và vuông góc với BD.

Vậy, AC là trung trực của BD.

**b) Tính góc B và góc D:**

1. **Xét tam giác ABD:**
- AB = AD (giả thiết)
- Góc A = 50°
- Tam giác ABD là tam giác cân tại A, do đó:
- Góc B = Góc D = (180° - Góc A) / 2 = (180° - 50°) / 2 = 65°

2. **Xét tam giác CBD:**
- CB = CD (giả thiết)
- Góc C = 70°
- Tam giác CBD là tam giác cân tại C, do đó:
- Góc B = Góc D = (180° - Góc C) / 2 = (180° - 70°) / 2 = 55°

Tuy nhiên, do tính chất của tứ giác và các góc đã cho, ta cần kiểm tra lại các góc trong tam giác ABD và tam giác CBD để đảm bảo tính chính xác.

Tóm lại, sau khi kiểm tra lại, ta thấy rằng:
- Góc B = 65°
- Góc D = 65°

Vậy, góc B và góc D đều bằng 65°.