**Bài 7:**

Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là \( a \) và cạnh góc vuông thứ hai là \( b = 15 \).

Theo đề bài, tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông là \( \frac{13}{12} \). Giả sử cạnh góc vuông này là \( a \), ta có:

\[ \frac{c}{a} = \frac{13}{12} \]

Suy ra:

\[ c = \frac{13}{12}a \]

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Thay \( c = \frac{13}{12}a \) và \( b = 15 \) vào phương trình trên:

\[ \left(\frac{13}{12}a\right)^2 = a^2 + 15^2 \]

\[ \frac{169}{144}a^2 = a^2 + 225 \]

Nhân cả hai vế với 144 để loại mẫu số:

\[ 169a^2 = 144a^2 + 32400 \]

\[ 25a^2 = 32400 \]

\[ a^2 = \frac{32400}{25} \]

\[ a^2 = 1296 \]

\[ a = \sqrt{1296} \]

\[ a = 36 \]

Vậy cạnh huyền \( c \) là:

\[ c = \frac{13}{12}a = \frac{13}{12} \times 36 = 39 \]

**Bài 9:**

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \( a \) và chiều rộng là \( b \).

Theo đề bài, chu vi của hình chữ nhật là 34 m, ta có:

\[ 2(a + b) = 34 \]

\[ a + b = 17 \]

Đường chéo của hình chữ nhật là 13 m, áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông tạo bởi chiều dài, chiều rộng và đường chéo:

\[ a^2 + b^2 = 13^2 \]

\[ a^2 + b^2 = 169 \]

Từ phương trình \( a + b = 17 \), ta có:

\[ b = 17 - a \]

Thay vào phương trình \( a^2 + b^2 = 169 \):

\[ a^2 + (17 - a)^2 = 169 \]

\[ a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169 \]

\[ 2a^2 - 34a + 289 = 169 \]

\[ 2a^2 - 34a + 120 = 0 \]

Chia cả hai vế cho 2:

\[ a^2 - 17a + 60 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:

\[ a = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 60}}{2} \]

\[ a = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 240}}{2} \]

\[ a = \frac{17 \pm \sqrt{49}}{2} \]

\[ a = \frac{17 \pm 7}{2} \]

\[ a = 12 \quad \text{hoặc} \quad a = 5 \]

Nếu \( a = 12 \) thì \( b = 17 - 12 = 5 \).

Nếu \( a = 5 \) thì \( b = 17 - 5 = 12 \).

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 12 m và 5 m.