Để chứng minh rằng \( EF = NE + PF \), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học phẳng, đặc biệt là các tính chất của các đường song song và các đoạn thẳng trong tam giác.

1. **Vẽ hình**:
- Vẽ tam giác \( MNP \).
- Gọi \( I \) là trung điểm của hai phân giác của góc \( N \) và góc \( M \).
- Qua \( I \), kẻ đường thẳng song song với \( NP \), cắt \( MN \) tại \( E \) và cắt \( MP \) tại \( F \).

2. **Chứng minh**:
- Vì \( IE \parallel NP \) và \( IF \parallel NP \), nên \( IE \) và \( IF \) là các đoạn thẳng song song với \( NP \).
- Theo định lý Talet (định lý về các đoạn thẳng song song cắt các cạnh của tam giác), ta có:
\[
\frac{IE}{NP} = \frac{NE}{NP} \quad \text{và} \quad \frac{IF}{NP} = \frac{PF}{NP}
\]
- Do đó, \( IE = NE \) và \( IF = PF \).

3. **Tổng các đoạn thẳng**:
- Ta có \( EF = IE + IF \).
- Thay \( IE \) và \( IF \) bằng \( NE \) và \( PF \), ta được:
\[
EF = NE + PF
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( EF = NE + PF \).

**Hình vẽ**:

```
M
|\
| \
| \
| \
E----I----F
| \
| \
N---------P
```

Trong hình vẽ trên:
- \( I \) là trung điểm của hai phân giác của góc \( N \) và góc \( M \).
- Đường thẳng qua \( I \) song song với \( NP \) cắt \( MN \) tại \( E \) và cắt \( MP \) tại \( F \).
- Ta đã chứng minh được rằng \( EF = NE + PF \).