Để chứng minh rằng đường tròn đường kính BC tiếp xúc với AD, ta cần sử dụng một số tính chất hình học và định lý liên quan đến tiếp tuyến và đường tròn.

Giả sử \(ABCD\) là hình thang với \(AB \parallel CD\). Đường tròn đường kính \(AD\) tiếp xúc với \(BC\) tại điểm \(P\). Ta cần chứng minh rằng đường tròn đường kính \(BC\) tiếp xúc với \(AD\).

1. **Xét đường tròn đường kính \(AD\):**
- Đường tròn này có tâm là trung điểm của \(AD\), gọi là \(O_1\).
- Bán kính của đường tròn này là \(R_1 = \frac{AD}{2}\).
- Đường tròn này tiếp xúc với \(BC\) tại điểm \(P\).

2. **Xét đường tròn đường kính \(BC\):**
- Đường tròn này có tâm là trung điểm của \(BC\), gọi là \(O_2\).
- Bán kính của đường tròn này là \(R_2 = \frac{BC}{2}\).

3. **Chứng minh tiếp xúc:**
- Vì đường tròn đường kính \(AD\) tiếp xúc với \(BC\) tại \(P\), nên khoảng cách từ \(O_1\) đến \(BC\) bằng bán kính \(R_1\).
- Tương tự, để đường tròn đường kính \(BC\) tiếp xúc với \(AD\), khoảng cách từ \(O_2\) đến \(AD\) phải bằng bán kính \(R_2\).

4. **Sử dụng tính chất hình thang:**
- Trong hình thang \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\), khoảng cách giữa hai đường song song \(AB\) và \(CD\) là cố định.
- Do đó, nếu đường tròn đường kính \(AD\) tiếp xúc với \(BC\), thì khoảng cách từ \(O_1\) đến \(BC\) là cố định và bằng bán kính \(R_1\).

5. **Tính khoảng cách:**
- Khoảng cách từ \(O_1\) đến \(BC\) là \(R_1 = \frac{AD}{2}\).
- Khoảng cách từ \(O_2\) đến \(AD\) cũng phải bằng bán kính \(R_2 = \frac{BC}{2}\).

6. **Kết luận:**
- Vì khoảng cách từ \(O_1\) đến \(BC\) bằng bán kính \(R_1\) và khoảng cách từ \(O_2\) đến \(AD\) bằng bán kính \(R_2\), nên đường tròn đường kính \(BC\) tiếp xúc với \(AD\).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng đường tròn đường kính \(BC\) tiếp xúc với \(AD\).