Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Tính các cạnh DF và EF

1. **Tính cạnh DF:**
- Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông:
\[
\sin E = \frac{DF}{DE}
\]
\[
\sin 40° = \frac{DF}{10}
\]
\[
DF = 10 \times \sin 40°
\]
\[
DF \approx 10 \times 0.6428 = 6.428 \text{ cm}
\]

2. **Tính cạnh EF:**
- Sử dụng định lý cos trong tam giác vuông:
\[
\cos E = \frac{DE}{EF}
\]
\[
\cos 40° = \frac{10}{EF}
\]
\[
EF = \frac{10}{\cos 40°}
\]
\[
EF \approx \frac{10}{0.7660} = 13.06 \text{ cm}
\]

### b) Tính độ dài đường trung tuyến DM và diện tích các tam giác

1. **Tính độ dài đường trung tuyến DM:**
- Đường trung tuyến DM trong tam giác vuông DEF từ đỉnh D đến cạnh EF:
\[
DM = \frac{1}{2} \sqrt{2DE^2 + 2DF^2 - EF^2}
\]
\[
DM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times 10^2 + 2 \times 6.428^2 - 13.06^2}
\]
\[
DM = \frac{1}{2} \sqrt{200 + 2 \times 41.32 - 170.56}
\]
\[
DM = \frac{1}{2} \sqrt{200 + 82.64 - 170.56}
\]
\[
DM = \frac{1}{2} \sqrt{112.08}
\]
\[
DM \approx \frac{1}{2} \times 10.58 = 5.29 \text{ cm}
\]

2. **Tính diện tích tam giác DEF:**
- Diện tích tam giác vuông DEF:
\[
S_{DEF} = \frac{1}{2} \times DE \times DF
\]
\[
S_{DEF} = \frac{1}{2} \times 10 \times 6.428
\]
\[
S_{DEF} \approx 32.14 \text{ cm}^2
\]

3. **Tính diện tích tam giác DME:**
- Diện tích tam giác DME:
\[
S_{DME} = \frac{1}{2} \times DE \times DM
\]
\[
S_{DME} = \frac{1}{2} \times 10 \times 5.29
\]
\[
S_{DME} \approx 26.45 \text{ cm}^2
\]

### Kết quả:
- Các cạnh của tam giác DEF:
\[
DF \approx 6.428 \text{ cm}, \quad EF \approx 13.06 \text{ cm}
\]
- Độ dài đường trung tuyến DM:
\[
DM \approx 5.29 \text{ cm}
\]
- Diện tích tam giác DEF:
\[
S_{DEF} \approx 32.14 \text{ cm}^2
\]
- Diện tích tam giác DME:
\[
S_{DME} \approx 26.45 \text{ cm}^2
\]