Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hàm số \( f(x) = \frac{x + m}{x - m} \) với \( m \neq 0 \), chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng câu hỏi một cách chi tiết.

### Câu a: Đạo hàm của \( f(x) \) là \( f'(x) = \frac{-2m}{(x - m)^2} \), với mọi \( x \neq m \)

Để tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = \frac{x + m}{x - m} \), chúng ta sử dụng quy tắc đạo hàm của một phân thức:

\[ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \]

với \( u(x) = x + m \) và \( v(x) = x - m \).

Đạo hàm của \( f(x) \) là:

\[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \]

Trong đó:

\[ u'(x) = 1 \]
\[ v'(x) = 1 \]

Thay vào công thức:

\[ f'(x) = \frac{(1)(x - m) - (x + m)(1)}{(x - m)^2} \]
\[ f'(x) = \frac{x - m - x - m}{(x - m)^2} \]
\[ f'(x) = \frac{-2m}{(x - m)^2} \]

Vậy đáp án a là **Đúng**.

### Câu b: Hàm số \( f(x) \) luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định

Để xác định tính đơn điệu của hàm số, chúng ta xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \frac{-2m}{(x - m)^2} \]

Vì \( (x - m)^2 \) luôn dương với mọi \( x \neq m \), dấu của \( f'(x) \) phụ thuộc vào dấu của \( -2m \).

- Nếu \( m > 0 \), thì \( -2m < 0 \), do đó \( f'(x) < 0 \) với mọi \( x \neq m \). Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
- Nếu \( m < 0 \), thì \( -2m > 0 \), do đó \( f'(x) > 0 \) với mọi \( x \neq m \). Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Vậy đáp án b là **Sai**.

### Câu c: Hàm số \( f(x) \) không có cực trị

Hàm số có cực trị tại \( x = c \) nếu \( f'(c) = 0 \). Tuy nhiên, từ đạo hàm \( f'(x) = \frac{-2m}{(x - m)^2} \), ta thấy rằng \( f'(x) \) không bao giờ bằng 0 vì tử số là một hằng số khác 0 và mẫu số luôn dương.

Vậy đáp án c là **Đúng**.

### Câu d: Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \((-2; +\infty)\) khi và chỉ khi \( m \leq -2 \)

Như đã phân tích ở câu b, hàm số \( f(x) \) đồng biến khi \( f'(x) > 0 \), tức là khi \( -2m > 0 \) hay \( m < 0 \).

Tuy nhiên, để hàm số đồng biến trên khoảng \((-2; +\infty)\), điều kiện này phải thỏa mãn trên toàn bộ khoảng. Điều kiện \( m \leq -2 \) đảm bảo rằng \( m < 0 \) và do đó \( f'(x) > 0 \) trên toàn bộ khoảng.

Vậy đáp án d là **Đúng**.

Tóm lại:
- a: Đúng
- b: Sai
- c: Đúng
- d: Đúng