Để chứng minh rằng không có số hữu tỉ nào có bình phương bằng một số nguyên không phải là số chính phương, ta có thể làm theo các bước sau:

Giả sử có một số hữu tỉ \( \frac{a}{b} \) (với \( a \) và \( b \) là các số nguyên, \( b \neq 0 \), và phân số \( \frac{a}{b} \) đã được rút gọn tối giản) sao cho bình phương của nó bằng một số nguyên \( n \). Ta có:

\[ \left( \frac{a}{b} \right)^2 = n \]

Điều này có nghĩa là:

\[ \frac{a^2}{b^2} = n \]

Nhân cả hai vế với \( b^2 \), ta được:

\[ a^2 = n b^2 \]

Ở đây, \( a^2 \) và \( b^2 \) đều là các số nguyên. Điều này có nghĩa là \( n \) phải là một số nguyên sao cho \( n b^2 \) là một số chính phương (vì \( a^2 \) là một số chính phương).

Giả sử \( n \) không phải là một số chính phương. Điều này có nghĩa là \( n \) không thể được biểu diễn dưới dạng \( k^2 \) với \( k \) là một số nguyên. Do đó, \( n \) có ít nhất một thừa số nguyên tố có lũy thừa lẻ trong phân tích thừa số nguyên tố của nó.

Bây giờ, xét phương trình \( a^2 = n b^2 \). Nếu \( n \) không phải là một số chính phương, thì \( n \) có ít nhất một thừa số nguyên tố có lũy thừa lẻ. Điều này có nghĩa là \( a^2 \) cũng phải có thừa số nguyên tố đó với lũy thừa lẻ, nhưng điều này là không thể vì \( a^2 \) là một số chính phương và mọi thừa số nguyên tố của một số chính phương đều có lũy thừa chẵn.

Do đó, giả thiết rằng \( n \) không phải là một số chính phương dẫn đến mâu thuẫn. Vì vậy, không có số hữu tỉ nào có bình phương bằng một số nguyên không phải là số chính phương.

Tóm lại, chỉ có các số nguyên chính phương mới có thể là bình phương của một số hữu tỉ.