Để giải các phương trình lượng giác trong ảnh, ta thực hiện như sau:

a) \(3\cos x + 2\sin x = 2\)

Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp đặt \(a\cos x + b\sin x = c\). Trong trường hợp này, \(a = 3\), \(b = 2\), và \(c = 2\).

Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng:
\[R\cos(x - \alpha) = c\]

Trong đó:
\[R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\]

Và:
\[\cos \alpha = \frac{a}{R} = \frac{3}{\sqrt{13}}, \quad \sin \alpha = \frac{b}{R} = \frac{2}{\sqrt{13}}\]

Do đó, phương trình trở thành:
\[\sqrt{13} \cos(x - \alpha) = 2\]

\[\cos(x - \alpha) = \frac{2}{\sqrt{13}}\]

\[x - \alpha = \pm \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]

\[x = \alpha \pm \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Với \(\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)\).

b) \(\cos x + \sin 3x = 0\)

Sử dụng công thức biến đổi \(\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x\), ta có:
\[\cos x + 3\sin x - 4\sin^3 x = 0\]

Đặt \(\sin x = t\), ta có:
\[\cos x = \sqrt{1 - t^2}\]

Phương trình trở thành:
\[\sqrt{1 - t^2} + 3t - 4t^3 = 0\]

Đây là phương trình bậc ba theo \(t\), có thể giải bằng cách thử nghiệm các giá trị của \(t\) hoặc sử dụng phương pháp giải phương trình bậc ba.

c) \(\cot x - \tan x + \frac{1}{\sin x} = 0\)

Sử dụng các công thức lượng giác:
\[\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}, \quad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\]

Phương trình trở thành:
\[\frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} = 0\]

Nhân cả hai vế với \(\sin x \cos x\):
\[\cos^2 x - \sin^2 x + \cos x = 0\]

Sử dụng công thức \(\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x\), ta có:
\[\cos 2x + \cos x = 0\]

\[\cos 2x = -\cos x\]

Sử dụng công thức \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\), ta có:
\[2\cos^2 x - 1 = -\cos x\]

\[2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0\]

Đây là phương trình bậc hai theo \(\cos x\), giải phương trình này ta có:
\[\cos x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}\]

\[\cos x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad \cos x = \frac{-4}{4} = -1\]

Do đó:
\[x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Như vậy, ta đã giải xong các phương trình lượng giác trong ảnh.