Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các định lý trong tam giác vuông và tam giác vuông có đường cao.

1. **Tính cạnh BC:**
- Vì \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), ta có:
\[ BC = BH + CH = 4 \, \text{cm} + 1 \, \text{cm} = 5 \, \text{cm} \]

2. **Tính các cạnh AB và AC:**
- Sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \( \triangle ABC \):
\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]
- Gọi \( AB = c \) và \( AC = b \), ta có:
\[ c^2 + b^2 = 5^2 = 25 \]

3. **Tính đường cao AH:**
- Sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\[ AH = \sqrt{BH \cdot CH} = \sqrt{4 \cdot 1} = \sqrt{4} = 2 \, \text{cm} \]

4. **Tính các cạnh AB và AC:**
- Sử dụng công thức liên quan đến đường cao trong tam giác vuông:
\[ AB = \sqrt{BH \cdot BC} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \, \text{cm} \]
\[ AC = \sqrt{CH \cdot BC} = \sqrt{1 \cdot 5} = \sqrt{5} \, \text{cm} \]

5. **Tính các góc của tam giác ABC:**
- Góc \( \angle BAC = 90^\circ \) (do tam giác vuông tại A).
- Góc \( \angle ABC \) và \( \angle ACB \) có thể tính bằng cách sử dụng các tỉ số lượng giác:
\[ \tan(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \]
\[ \angle ABC = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \approx 26.57^\circ \]
\[ \angle ACB = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - 26.57^\circ \approx 63.43^\circ \]

Vậy các cạnh của tam giác vuông \( \triangle ABC \) là:
- \( AB = 2\sqrt{5} \, \text{cm} \)
- \( AC = \sqrt{5} \, \text{cm} \)
- \( BC = 5 \, \text{cm} \)

Các góc của tam giác vuông \( \triangle ABC \) là:
- \( \angle BAC = 90^\circ \)
- \( \angle ABC \approx 26.57^\circ \)
- \( \angle ACB \approx 63.43^\circ \)