Để tính các cạnh và các góc của tam giác vuông ABC, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho và các định lý hình học liên quan.

1. **Tính cạnh BC:**
- Ta có BH = 4 cm và CH = 1 cm.
- Vậy BC = BH + CH = 4 cm + 1 cm = 5 cm.

2. **Tính đường cao AH:**
- Trong tam giác vuông, đường cao AH từ đỉnh góc vuông A đến cạnh huyền BC chia cạnh huyền thành hai đoạn BH và CH.
- Ta sử dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH = \sqrt{BH \cdot CH}
\]
\[
AH = \sqrt{4 \cdot 1} = \sqrt{4} = 2 \text{ cm}
\]

3. **Tính các cạnh AB và AC:**
- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
- Ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = 5^2 = 25
\]
- Ta cũng biết rằng:
\[
AB \cdot AC = AH^2 = 2^2 = 4
\]
- Đặt AB = x và AC = y, ta có hệ phương trình:
\[
x^2 + y^2 = 25
\]
\[
x \cdot y = 4
\]
- Giải hệ phương trình này:
\[
y = \frac{4}{x}
\]
\[
x^2 + \left(\frac{4}{x}\right)^2 = 25
\]
\[
x^2 + \frac{16}{x^2} = 25
\]
\[
x^4 - 25x^2 + 16 = 0
\]
Đặt \( t = x^2 \), ta có phương trình bậc hai:
\[
t^2 - 25t + 16 = 0
\]
Giải phương trình này:
\[
t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 64}}{2} = \frac{25 \pm \sqrt{561}}{2}
\]
\[
t = \frac{25 \pm 23.7}{2}
\]
\[
t_1 = 24.35 \quad \text{và} \quad t_2 = 0.65
\]
Vậy:
\[
x^2 = 24.35 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = 0.65
\]
\[
x = \sqrt{24.35} \quad \text{hoặc} \quad x = \sqrt{0.65}
\]
\[
y = \frac{4}{\sqrt{24.35}} \quad \text{hoặc} \quad y = \frac{4}{\sqrt{0.65}}
\]

4. **Tính các góc của tam giác ABC:**
- Góc A là góc vuông, nên \( \angle A = 90^\circ \).
- Sử dụng các cạnh AB và AC đã tính được để tính các góc còn lại bằng cách sử dụng các hàm lượng giác.

Tóm lại, các cạnh của tam giác vuông ABC là:
- \( BC = 5 \text{ cm} \)
- \( AB \) và \( AC \) có thể tính được từ hệ phương trình trên.

Các góc của tam giác vuông ABC là:
- \( \angle A = 90^\circ \)
- Các góc còn lại có thể tính được từ các hàm lượng giác.