Để giải các bài toán này, ta sẽ lập hệ phương trình dựa trên các điều kiện đã cho.

### Bài 1:
Gọi số cần tìm là \( \overline{ab} \) với \( a \) là chữ số hàng chục và \( b \) là chữ số hàng đơn vị. Ta có:
1. \( a + b = 14 \)
2. Số mới khi đổi chỗ là \( \overline{ba} = 10b + a \), và số này lớn hơn số ban đầu 18 đơn vị: \( 10b + a = 10a + b + 18 \)

Từ đó, ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
a + b = 14 \\
10b + a = 10a + b + 18
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
\[
\begin{cases}
a + b = 14 \\
9b - 9a = 18
\end{cases}
\]

Chia phương trình thứ hai cho 9:
\[
b - a = 2
\]

Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
a + b = 14 \\
b - a = 2
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình:
\[
2b = 16 \Rightarrow b = 8
\]

Thay \( b = 8 \) vào phương trình \( a + b = 14 \):
\[
a + 8 = 14 \Rightarrow a = 6
\]

Vậy số cần tìm là 68.

### Bài 2:
Gọi số cần tìm là \( \overline{ab} \) với \( a \) là chữ số hàng chục và \( b \) là chữ số hàng đơn vị. Ta có:
1. \( b = a + 5 \)
2. Số mới khi viết chữ số 1 xen vào giữa là \( \overline{a1b} = 100a + 10 + b \), và số này lớn hơn số ban đầu 280 đơn vị: \( 100a + 10 + b = 10a + b + 280 \)

Từ đó, ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
b = a + 5 \\
100a + 10 + b = 10a + b + 280
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
\[
\begin{cases}
b = a + 5 \\
90a + 10 = 280
\end{cases}
\]

Giải phương trình thứ hai:
\[
90a = 270 \Rightarrow a = 3
\]

Thay \( a = 3 \) vào phương trình \( b = a + 5 \):
\[
b = 3 + 5 = 8
\]

Vậy số cần tìm là 38.

### Bài 3:
Gọi hai số cần tìm là \( \overline{ab} \) và \( \overline{cd} \) với \( a, c \) là chữ số hàng chục và \( b, d \) là chữ số hàng đơn vị. Ta có:
1. \( a + b = 11 \)
2. Số mới khi đổi chỗ là \( \overline{ba} = 10b + a \), và số này lớn hơn số ban đầu 27 đơn vị: \( 10b + a = 10a + b + 27 \)

Từ đó, ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
a + b = 11 \\
10b + a = 10a + b + 27
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
\[
\begin{cases}
a + b = 11 \\
9b - 9a = 27
\end{cases}
\]

Chia phương trình thứ hai cho 9:
\[
b - a = 3
\]

Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
a + b = 11 \\
b - a = 3
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình:
\[
2b = 14 \Rightarrow b = 7
\]

Thay \( b = 7 \) vào phương trình \( a + b = 11 \):
\[
a + 7 = 11 \Rightarrow a = 4
\]

Vậy số cần tìm là 47.