Để chứng minh \( EF \parallel BC \) trong tam giác cân \( ABC \) tại \( A \), với \( M \) là trung điểm của \( BC \), và \( K \) là một điểm bất kỳ trên \( AM \), ta làm như sau:

1. **Xét tam giác cân \( ABC \) tại \( A \)**:
- Vì \( ABC \) cân tại \( A \), nên \( AB = AC \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BM = MC \).

2. **Gọi \( K \) là một điểm bất kỳ trên \( AM \)**:
- Tia \( BK \) cắt \( AC \) tại \( F \).
- Tia \( CK \) cắt \( AB \) tại \( E \).

3. **Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( ABC \) với đường thẳng \( EFK \)**:
- Định lý Menelaus cho tam giác \( ABC \) với đường thẳng \( EFK \) cho ta:
\[
\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1
\]

4. **Xét tỉ số đoạn thẳng**:
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BM = MC \).
- Do đó, \( \frac{BF}{FC} = 1 \).

5. **Sử dụng tính chất của tam giác cân**:
- Trong tam giác cân \( ABC \) tại \( A \), đường trung tuyến \( AM \) cũng là đường phân giác và đường cao.
- Do đó, \( AM \) chia tam giác \( ABC \) thành hai tam giác vuông cân \( ABM \) và \( ACM \).

6. **Sử dụng định lý Menelaus**:
- Từ định lý Menelaus và tính chất của tam giác cân, ta có:
\[
\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1
\]
- Vì \( \frac{BF}{FC} = 1 \), ta có:
\[
\frac{AE}{EB} \cdot \frac{CK}{KA} = 1
\]
- Do đó, \( \frac{AE}{EB} = \frac{KA}{CK} \).

7. **Sử dụng tính chất của đường trung tuyến**:
- Vì \( K \) nằm trên \( AM \), ta có \( \frac{KA}{CK} = \frac{AE}{EB} \).

8. **Kết luận**:
- Từ các tỉ số trên, ta suy ra \( \frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC} \).
- Điều này chứng tỏ rằng \( EF \parallel BC \) theo định lý Thales đảo.

Vậy, ta đã chứng minh được \( EF \parallel BC \).