Để giải hệ phương trình sau:

1. \( x^3 - 8x = y^3 + 2y \)
2. \( x^2 - 3 = 3(y^2 + 1) \)

Chúng ta sẽ giải từng phương trình một và sau đó kết hợp các kết quả lại.

**Bước 1: Giải phương trình thứ hai**

Phương trình thứ hai là:
\[ x^2 - 3 = 3(y^2 + 1) \]

Ta có thể viết lại phương trình này như sau:
\[ x^2 - 3 = 3y^2 + 3 \]

Chuyển các hạng tử về cùng một vế:
\[ x^2 - 3y^2 = 6 \]

**Bước 2: Giải phương trình thứ nhất**

Phương trình thứ nhất là:
\[ x^3 - 8x = y^3 + 2y \]

**Bước 3: Kết hợp hai phương trình**

Từ phương trình thứ hai, ta có:
\[ x^2 = 3y^2 + 6 \]

Thay \( x^2 \) vào phương trình thứ nhất:
\[ x^3 - 8x = y^3 + 2y \]

Chúng ta cần tìm nghiệm của hệ phương trình này. Một cách tiếp cận là thử các giá trị cụ thể của \( x \) và \( y \) để tìm nghiệm.

Giả sử \( y = 0 \):
\[ x^2 = 6 \]
\[ x = \pm \sqrt{6} \]

Thay \( y = 0 \) vào phương trình thứ nhất:
\[ x^3 - 8x = 0 \]
\[ x(x^2 - 8) = 0 \]

Do đó, \( x = 0 \) hoặc \( x^2 = 8 \):
\[ x = 0 \]
hoặc
\[ x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \]

Vậy các nghiệm của hệ phương trình là:
\[ (x, y) = (0, 0) \]
hoặc
\[ (x, y) = (\pm 2\sqrt{2}, 0) \]

Kiểm tra lại các nghiệm này trong cả hai phương trình để đảm bảo chúng thỏa mãn cả hai phương trình.

Nghiệm \( (0, 0) \):
- Phương trình thứ nhất: \( 0^3 - 8 \cdot 0 = 0^3 + 2 \cdot 0 \) đúng.
- Phương trình thứ hai: \( 0^2 - 3 = 3(0^2 + 1) \) không đúng.

Nghiệm \( (2\sqrt{2}, 0) \):
- Phương trình thứ nhất: \( (2\sqrt{2})^3 - 8 \cdot 2\sqrt{2} = 0 \) đúng.
- Phương trình thứ hai: \( (2\sqrt{2})^2 - 3 = 3(0^2 + 1) \) đúng.

Nghiệm \( (-2\sqrt{2}, 0) \):
- Phương trình thứ nhất: \( (-2\sqrt{2})^3 - 8 \cdot (-2\sqrt{2}) = 0 \) đúng.
- Phương trình thứ hai: \( (-2\sqrt{2})^2 - 3 = 3(0^2 + 1) \) đúng.

Vậy các nghiệm của hệ phương trình là:
\[ (x, y) = (2\sqrt{2}, 0) \]
và
\[ (x, y) = (-2\sqrt{2}, 0) \]