Để tìm các hệ số \( a \) và \( b \) sao cho khi chia đa thức \( f(x) = x^{10} + ax^3 + b \) cho đa thức \( x^2 - 1 \) dư \( 2x + 1 \), chúng ta sẽ sử dụng định lý chia đa thức.

Theo định lý chia đa thức, nếu \( f(x) \) chia cho \( x^2 - 1 \) dư \( r(x) \), thì \( f(x) \) có thể được viết dưới dạng:

\[
f(x) = (x^2 - 1)q(x) + r(x)
\]

với \( r(x) \) có bậc nhỏ hơn bậc của \( x^2 - 1 \), tức là \( r(x) \) có dạng \( A x + B \) (vì bậc của \( x^2 - 1 \) là 2).

Trong trường hợp này, chúng ta cần tìm điều kiện để \( r(x) = 2x + 1 \).

Điều này có nghĩa là:

\[
f(x) = (x^2 - 1)q(x) + (2x + 1)
\]

Chúng ta có thể tính \( f(1) \) và \( f(-1) \) để thiết lập hệ phương trình cho \( a \) và \( b \).

1. **Tính \( f(1) \):**
\[
f(1) = 1^{10} + a(1^3) + b = 1 + a + b
\]
Nhưng \( f(1) = 2(1) + 1 = 3 \).
Do đó:
\[
1 + a + b = 3 \implies a + b = 2 \quad (1)
\]

2. **Tính \( f(-1) \):**
\[
f(-1) = (-1)^{10} + a(-1^3) + b = 1 - a + b
\]
Nhưng \( f(-1) = 2(-1) + 1 = -1 \).
Do đó:
\[
1 - a + b = -1 \implies -a + b = -2 \quad (2)
\]

Bây giờ, chúng ta có hệ phương trình:

1. \( a + b = 2 \)
2. \( -a + b = -2 \)

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này.

Từ phương trình (1):

\[
b = 2 - a
\]

Thay vào (2):

\[
-a + (2 - a) = -2
\]
\[
2 - 2a = -2 \implies -2a = -4 \implies a = 2
\]

Thay giá trị của \( a \) vào (1):

\[
2 + b = 2 \implies b = 0
\]

Vậy, ta tìm được giá trị của \( a \) và \( b \):

\[
\boxed{(2, 0)}
\]