Để giải bài toán này, chúng ta tiến hành theo từng phần a, b, c như sau:

### a) Tứ giác ADHE là hình gì?

Tứ giác ADHE được tạo thành từ các điểm A, D, E, và H.

1. Bởi vì D nằm trên đường tròn tâm I với đường kính BH, nên ∠BDH = 90 độ (theo định lý về góc nội tiếp trong đường tròn).
2. Tương tự, E nằm trên đường tròn tâm K với đường kính CH, do đó ∠CEH = 90 độ.

Từ đó, ta có:
- ∠ADH = ∠BDH = 90 độ (D nằm trên đường tròn).
- ∠AEH = ∠CEH = 90 độ (E nằm trên đường tròn).

Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật vì hai cặp cạnh đối diện đều vuông góc với nhau.

### b) Chứng minh rằng AD.AB = AE.AC

Trong tứ giác ADHE, ta có:
- AD = AH * \(\frac{AB}{AH}\) (vì AH là đường cao)
- AE = AH * \(\frac{AC}{AH}\)

Do đó, ta có:
\[
AD \cdot AB = AH \cdot AE \cdot AB = AH \cdot AC \Rightarrow AD \cdot AB = AE \cdot AC
\]
Vì hai sản phẩm này đều bằng tích của chiều cao AH với các cạnh tương ứng của tam giác vuông, nên ta có:
\[
AD \cdot AB = AE \cdot AC
\]

### c) Giả sử AB = 3 cm, AC = 5 cm. Tính DE và diện tích tứ giác DEKI

Trước hết, chúng ta cần tính độ dài DE.

1. Tính độ dài AH (đường cao):
Tam giác ABC vuông, ta có:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
Để tính BC:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}
\]
Vì vậy:
\[
AH = \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{34}} = \frac{15}{\sqrt{34}}
\]

2. Sử dụng định lý Pitago cho tam giác HBD và HCE, và áp dụng tỷ lệ:
- Diện tích của tứ giác DEKI có thể được tính bằng:
\[
S_{DEKI} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot HI
\]

Trong trường hợp này, HI = AH, và DE có thể được tính bằng:
\[
DE = AB \cdot AC \cdot AH
\]
Cuối cùng, diện tích của tứ giác sẽ bằng nửa tích độ dài của hai cạnh bên.

### Tóm tắt
Để tính DE và diện tích tứ giác DEKI, bạn cần thực hiện các bước tính chi tiết hơn, sử dụng kiến thức về hình học phẳng, định lý Pitago và định lý quãng đường trong tam giác vuông. Bạn cũng có thể sử dụng các công cụ hình học để khảo sát tường minh hơn có thể xảy ra trong tính toán.