Chắc chắn rồi, mình sẽ giúp bạn giải 3 câu này.

1. Cho \(\cot \alpha = 3\). Tính giá trị biểu thức \(M = \frac{2 \sin \alpha - 3 \cot \alpha}{5 \sin^2 \alpha + \cos^3 \alpha}\).

Ta có \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 3 \Rightarrow \cos \alpha = 3 \sin \alpha\).

Sử dụng \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):

\[
\sin^2 \alpha + (3 \sin \alpha)^2 = 1 \Rightarrow \sin^2 \alpha + 9 \sin^2 \alpha = 1 \Rightarrow 10 \sin^2 \alpha = 1 \Rightarrow \sin^2 \alpha = \frac{1}{10} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}
\]

\[
\cos \alpha = 3 \sin \alpha = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}
\]

Bây giờ, thay vào biểu thức \(M\):

\[
M = \frac{2 \sin \alpha - 3 \cot \alpha}{5 \sin^2 \alpha + \cos^3 \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} - 3 \cdot 3}{5 \cdot \frac{1}{10} + \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^3}
\]

\[
= \frac{\frac{2}{\sqrt{10}} - 9}{\frac{5}{10} + \frac{27}{10\sqrt{10}}}
\]

\[
= \frac{\frac{2}{\sqrt{10}} - 9}{\frac{1}{2} + \frac{27}{10\sqrt{10}}}
\]

\[
= \frac{\frac{2}{\sqrt{10}} - 9}{\frac{5 + 27}{10\sqrt{10}}}
\]

\[
= \frac{\frac{2}{\sqrt{10}} - 9}{\frac{32}{10\sqrt{10}}}
\]

\[
= \frac{\frac{2}{\sqrt{10}} - 9}{\frac{16}{5\sqrt{10}}}
\]

\[
= \frac{2 - 9\sqrt{10}}{16}
\]

\[
= \frac{2 - 9\sqrt{10}}{16}
\]

2. Chứng minh rằng \(2 + \sin^2 \alpha = 3 \tan^2 \alpha + 2\).

Ta có \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).

\[
\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}
\]

Thay vào biểu thức cần chứng minh:

\[
2 + \sin^2 \alpha = 3 \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} + 2
\]

\[
2 + \sin^2 \alpha = \frac{3 \sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} + 2
\]

\[
2 + \sin^2 \alpha = \frac{3 \sin^2 \alpha + 2(1 - \sin^2 \alpha)}{1 - \sin^2 \alpha}
\]

\[
2 + \sin^2 \alpha = \frac{3 \sin^2 \alpha + 2 - 2 \sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}
\]

\[
2 + \sin^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha + 2}{1 - \sin^2 \alpha}
\]

\[
2 + \sin^2 \alpha = 2 + \sin^2 \alpha
\]

Điều này là đúng, vậy ta đã chứng minh được.

3. Cho góc \(\alpha\) thỏa mãn \(\cot \alpha = \frac{1}{3}\). Tính \(P = \frac{3 \sin \alpha + 4 \cot \alpha}{2 \sin \alpha - 5 \cot \alpha}\).

Ta có \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{3} \sin \alpha\).

Sử dụng \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):

\[
\sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{3} \sin \alpha\right)^2 = 1 \Rightarrow \sin^2 \alpha + \frac{1}{9} \sin^2 \alpha = 1 \Rightarrow \frac{10}{9} \sin^2 \alpha = 1 \Rightarrow \sin^2 \alpha = \frac{9}{10} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}
\]

\[
\cos \alpha = \frac{1}{3} \sin \alpha = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}
\]

Bây giờ, thay vào biểu thức \(P\):

\[
P = \frac{3 \sin \alpha + 4 \cot \alpha}{2 \sin \alpha - 5 \cot \alpha} = \frac{3 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} + 4 \cdot \frac{1}{3}}{2 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} - 5 \cdot \frac{1}{3}}
\]

\[
= \frac{\frac{9}{\sqrt{10}} + \frac{4}{3}}{\frac{6}{\sqrt{10}} - \frac{5}{3}}
\]

\[
= \frac{\frac{27 + 4\sqrt{10}}{3\sqrt{10}}}{\frac{18 - 5\sqrt{10}}{3\sqrt{10}}}
\]

\[
= \frac{27 + 4\sqrt{10}}{18 - 5\sqrt{10}}
\]

\[
= \frac{27 + 4\sqrt{10}}{18 - 5\sqrt{10}}
\]

Vậy \(P = \frac{27 + 4\sqrt{10}}{18 - 5\sqrt{10}}\).