Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết.

### Phần 1: Tam giác AEC là tam giác gì?

1. **Xét tam giác AEC:**
- Ta có \( AD = AB \) và \( BE = CD \).
- Vì \( E \) nằm trên tia đối của tia \( BA \), nên \( BE \) là đoạn thẳng kéo dài từ \( B \) qua \( A \) và tiếp tục đến \( E \).

2. **Chứng minh tam giác AEC cân tại A:**
- Ta có \( AD = AB \) (theo giả thiết).
- Xét tam giác \( ABD \):
- \( AD = AB \) nên tam giác \( ABD \) cân tại \( A \).
- Góc \( BAD = ABD \).
- Xét tam giác \( ACD \):
- \( CD = BE \) (theo giả thiết).
- Vì \( E \) nằm trên tia đối của tia \( BA \), nên \( AE = AB + BE = AB + CD \).
- Do đó, \( AE = AC \) (vì \( AD = AB \) và \( CD = BE \)).
- Vậy tam giác \( AEC \) cân tại \( A \).

### Phần 2: Tính số đo góc AIC và chứng minh I là trung điểm của CE

1. **Tính số đo góc AIC:**
- Tia phân giác của góc \( A \) cắt \( CE \) tại \( I \).
- Vì \( AD = AB \) và \( BE = CD \), nên tam giác \( ABD \) và tam giác \( ACD \) là hai tam giác cân.
- Từ đó, ta có \( \angle BAD = \angle ABD \) và \( \angle CAD = \angle ACD \).
- Xét tam giác \( AEC \):
- Vì tam giác \( AEC \) cân tại \( A \), nên \( \angle EAC = \angle ECA \).
- Tia phân giác của góc \( A \) chia góc \( \angle EAC \) thành hai góc bằng nhau.
- Do đó, \( \angle AIC = 90^\circ \).

2. **Chứng minh I là trung điểm của CE:**
- Vì \( I \) nằm trên tia phân giác của góc \( A \) và tam giác \( AEC \) cân tại \( A \), nên \( I \) chia \( CE \) thành hai đoạn bằng nhau.
- Do đó, \( I \) là trung điểm của \( CE \).

Vậy, tam giác \( AEC \) là tam giác cân tại \( A \), số đo góc \( AIC \) là \( 90^\circ \), và \( I \) là trung điểm của \( CE \).